Para evaluar la integral trigonométrica que contienen senos y cosenos.
Enviado por Sara • 27 de Febrero de 2018 • 973 Palabras (4 Páginas) • 367 Visitas
...
Simplifiquemos paso a paso el término de la raíz, en primer lugar sacaremos a factor común, y operaremos para poder dejarlo como suma de cuadrados.
De esta forma estaremos en tres situaciones posibles:
- [pic 65] Λ [pic 66] es decir: [pic 67]
- [pic 68] Λ [pic 69] es decir: [pic 70]
- [pic 71] Λ [pic 72] es decir: [pic 73]
teniendo la forma las ecuaciones conocidas: con
[pic 74]
Estos los cambios que hay que realizar según la situación:
- [pic 75]
- [pic 76]
- [pic 77]
La integral de esta forma, se transforma en una integral trigonométrica en t, se resuelve y se deshace el cambio.
DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES
- Raíces reales simples (Factores lineales distintos).
Sea una función racional (cociente de polinomios) de la forma
Si Q(x)=0 sólo admite raíces reales simples, podemos entonces descomponer,siendo x1,x2,...,xn números reales distintos y an coeficiente que acompaña a la variable elevada a la mayor potencia en Q(x).
Ejemplo:
Sumamos las fracciones e igualamos los numeradores:
Como es una identidad, se ha de cumplir para todo valor de x:
Ejemplo:
i). Hallamos las raíces del polinomio del denominador:
x =2, x = 3
ii). Factorizamos el denominador
iii). Descomponemos:
operando:
Para hallar A y B tenemos dos opciones:
·resolvemos el siguiente sistema
1=(A+B) x - 3 A-2 B
Con lo cual:
·O bien Igualamos numeradores y sustituimos x, en los dos miembros, por los valores 2 y 3 (los ceros del denominador)
iv). Comprobamos el resultado.
- Raíces reales múltiples. (Factores lineales repetidos).
Consideramos de nuevo una función racional de la forma
Si Q(x)=0 admite raíces reales múltiples, en su descomposición factorial aparecerán factores de la forma an(x-r)n , con lo cuál tendremos:
siendo F(x)=R(x)/an
Supongamos que el grado de F(x) es m, con m
Si desarrollamos F(x) por la fórmula de Taylor en el punto r, queda:
Dividiendo por (x-r)n
Ejemplo:
i). Las raíces del denominador son x = 0, -1, -1
[pic 78]
[pic 79]
Sustituimos:
[pic 80]
- Raíces complejas simples.
Como hemos considerado con anterioridad, sea una función racional de la forma:
[pic 81]
grado de R(x)
Si Q(x)=0 admite raíces imaginarias (simples), tendremos en este caso que si una de las raíces es a+bj , la otra será a-bj (Se denominan raíces complejas conjugadas), y los factores de la descomposición factorial serán de la forma: [pic 82]
Así pues, en la descomposición en fracciones simples, sustituiremos las fracciones
[pic 83]
Por [pic 84]
Ejemplo 3. Factores cuadráticos distintos.
i). Las raíces del denominador son: x = 0, 1 y dos raíces complejas
ii). [pic 85]
iii). [pic 86]
Procediendo como antes:
[pic 87]
[pic 88]
[pic 89]
- Raíces complejas múltiples.
Como hemos considerado con anterioridad, sea una función racional de la forma:
[pic 90]
grado de R(x)
Si Q(x)=0 admite raíces complejas múltiples, tendremos en este caso que si una de las raíces es a+bj , con multiplicidad p, la otra será a-bj también con multiplicidad p. Es decir, como las raíces imaginarias aparecen en parejas conjugadas, en la descomposición factorial del polinomio habrá un término de la forma (x2+ax+b)n siendo n el orden de multiplicidad. Por cada factor de esta clase pondremos n sumandos de la forma
[pic 91]
De esta forma:
[pic
...