Prueba de hipotesis.

...

Lo descrito anteriormente es, en esencia, una prueba aproximada destinada a grandes muestras; es exacta sólo cuando la población que estamos muestreando es normal y [pic 18] se conoce, cuando [pic 19] se desconoce tomaremos la información de la desviación estándar muestral de la media con [pic 20] desconocida.

Ejemplo: μ = 28,000, n = 40; [pic 21] = 27,463; S = 1,348

¿Qué podemos concluir de este dato si la probabilidad de un error de tipo I es a lo sumo 0.01?

Solución:

1. hipótesis nula: μ =28,000

Hipótesis alterna: μ

2. Níve1 de signifícancia: α=0.01

3.- Criterio: puesto que la probabilidad de un error de tipo I es más grande cuando μ = 28,000 procedemos como si estuviéramos probando la hipótesis nula μ = 28,000 contra la hipótesis alterna μ

Así pues, la hipótesis debe realizarse sí Z donde

[pic 22]

4.- Cálculos: [pic 23]

5.- Decisión: puesto que Z = -2.52 es menor que -2.326, la hipótesis nula debe rechazarse al nivel de significancia de 0.01; en otras palabras se confirma la sospecha de la empresa de que µ

Si el tamaño de la muestra es muy pequeña y[pic 24] se desconoce, las pruebas descritas no pueden aplicarse. Sin embargo, si la muestra proviene de una muestra de tamaño normal (con un grado de aproximación), podemos utilizar la teoría de LA DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA MEDIA [pic 25] (DESCONOCIDA), y fundamentar la prueba de la hipótesis nula en el estadístico:[pic 26]

Estadístico de una prueba relacionada con las medias en muestra pequeñas, el cual es un valor de una variable aleatoria que tiene la distribución t con v = n - 1; número de grados de libertad. Los criterios para la prueba t unimuestral que se fundamenta en este estadístico; [pic 27] alternativa unilateral; [pic 28] alternativa bilateral.

Ejemplo: μ = 180; n = 5; [pic 29] = 169.5; S = 5.7.

Prueba de hipótesis nula de que [pic 30] = 180, contra la hipótesis alterna µ

1. hipótesis nula:[pic 31] = 180

Hipótesis alterna: μ

2. Níve1 de signifícancia: [pic 32]= 0.01

3.- Criterio: Rechazará la hipótesis nula si t

4.- Cálculo:

[pic 33]

5.- Decisión: puesto que t = -4.012 es menor que -3.747, se rechaza la nivel = 0.01; en otras palabras, la resistencia a la ruptura esta por debajo de la especificaciones.

RELACIÓN ENTRE PRUEBAS E INTERVALOS DE CONFIANZA

Describimos ahora una relación importante entre las pruebas alternativas bilaterales y los intervalos de confianza. Esta relación es el motivo de que se prefiera la información disponible en un enunciado de intervalo de confianza en contraposición de que la información de que la hipótesis nula µ = [pic 34]; se haya o no rechazado. Para desarrollar la relación consideremos el intervalo de confianza 100%( 1 - [pic 35]) para µ.

[pic 36]

Este intervalo esta conectado estrechamente con el nivel de la prueba para Ho: µ =[pic 37] en contra posición a la alternativa bilateral H1: [pic 38] esa prueba tiene la región critica:

[pic 39]

La región de la aceptación de esta prueba se obtiene invirtiendo la desigualdad para obtener todos los valores de x que no conduzca al rechazo de

REGION DE LA ACEPTACIÓN

[pic 40]

También se puede la región de aceptación como:

Siendo los limites del intervalo idénticos con los intervalos de confianza, nos dice inmediatamente el resultado de todas las pruebas bilaterales posibles de la hipótesis que especifica un valor único para μ.

Ejemplo: De la muestra n = 16 determinaciones de pérdida de peso, resultaron en = 3.42 y S = 0.68. Como = 2.131; con 15 grados de libertad el intervalo de confianza del 95 % es:

CURVAS CARACTERÍSTICAS DE OPERACIÓN

ANALISIS DE ERROR TIPO II

Debemos investigar la probabilidad de aceptar la hipótesis nula, para un rango de valores posibles de µ, con este objeto hagamos.

L( µ )= probabilidad de aceptar la hipótesis nula cuando es µ valida.

La función L( µ ) caracteriza completamente el procedimiento de prueba cualquiera que sea el valor de la media de la población. Si µ es igual a un valor donde sea cierta la hipótesis nula, entonces 1 - L (µ) es la probabilidad del error tipo I. Cuando µ tiene un valor donde la hipótesis alterna sea verdadera, entonces L (µ) es la probabilidad de! error tipo II. Esto es, la función L (µ ) lleva en si la información completa acerca de ambos tipos de errores.

[pic 41]

La gráfica de la L(µ) para diferentes valores de µ como se muestra en la figura A se denomina curva OC característica de operación, o simplemente curva OC del criterio de prueba. En teoría desearíamos rechazar la hipótesis nula cuando en realidad µ =[pic 42], cuando en realidad excede µ; y aceptar a cuando es menor o igual que[pic 43] en la practica las curvas OC sólo pueden aproximar mejoras cuando se incrementa el tamaño de la muestra.

En la figura A presenta la imagen de una curva OC para el caso en que la hipótesis alterna es cuando la hipótesis alterna es µ [pic 44]; curva OC se transforma en la imagen en un espejo de la figura A, refleja alrededor de la línea vertical punteada que pasa a través de. L(µ).

Cuando la hipótesis alterna es de dos colas H1: µ [pic 45] ó µ > [pic 46]; entonces la curva típica OC tendrá un máximo en µ caerá a medida que el valor de µ se aleje de L(µ) cualquier dirección. En la figura B se muestra como una curva OC para una prueba de dos colas. Se debe observar que L(µ) es ahora la probabilidad de un error tipo II para todos los valores de µ con excepción de [pic 47], en [pic