Suma de Riemann.

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Leibniz escogió la notación para una integral, seleccionó los ingredientes como recordatorios del proceso de límite. En general, cuando escribimos

Sustituimos lim ∑ por ∫, xi* por x, y ∆x por dx.

Evaluación de Integrales

Cuando usamos un límite para evaluar una integral definida, es necesario saber cómo trabajar con sumas. Las siguientes tres ecuaciones dan fórmulas para sumas de potencias de enteros positivos. La Ecuación 5 puede serle conocida al lector por sus cursos de álgebra. Las Ecuaciones 6 y 7 se demuestran en el Apéndice F.

Ejemplo 2: Evaluación de una integral como límite de sumas de Riemann

(a) Evalúe la suma de Riemann para f(x)= x3-6x, tomando los puntos muéstrales como puntos extremos derechos y a= 0, b= 3 y n= 6.

(b) Evalúe.

SOLUCIÓN

Con n= 6 el ancho de intervalo es

Y los puntos extremos derechos son x1= 0.5, x2= 1.0, x3= 1.5, x4= 2.0, x5= 2.5 y x6= 3.0. Entonces la suma de Riemann es:

Nótese que f no es una función positiva y por tanto la suma de Riemann no representa una suma de áreas de rectángulos, pero sí representa la suma de las áreas de los rectángulos azules (arriba del eje x) menos la suma de las áreas de rectángulos de color oro (abajo del eje x) en la Figura 5.

Con n subintervalos tenemos

De esta forma, x0= 0, x1= 3/n, x2= 6/n, x3 =9/n y, en general, xi =3i/n. Como estamos usando puntos extremos derechos, podemos usar el Teorema 4:

Esta integral no se puede interpretar como un área porque f toma valores tanto positivos como negativos. Pero se puede interpretar como la diferencia de áreas A1 - A2, donde A1 y A2 se muestran en la Figura 6. La Figura 7 ilustra el cálculo al mostrar los términos positivos y negativos en la suma de Riemann Rn de la derecha para n 40. Los valores de la tabla muestran las sumas de Riemann que aproximan el valor exacto de la integral, -6.75, cuando n→∞

Ejemplo 3:

(a) Establezca una expresión para ∫_1^3▒〖e^(x ) dx〗 como límite de sumas.

(b) Use un sistema computarizado de álgebra para evaluar la expresión

SOLUCION

Aquí tenemos f(x) ex, a=1, b=3, y

Entonces x0= 1, x1 = 1+ 2/n, x2 = 1+ 4n, x3 =1+6n, y

Del Teorema 4 tenemos

Si le pedimos a un sistema computarizado de álgebra que evalúe la suma y simplifique, obtenemos

Ahora le pedimos al sistema computarizado de álgebra que evalúe el