TALLER DE IO2. 2015-02

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a) Plantee el problema como un sistema de Markov discreto, definiendo claramente los estados y la matriz de transición de un paso.

b) Si cada hortaliza que da sus frutos produce una utilidad de $15, cuál es la utilidad promedio mensual del agricultor en el largo plazo? (obtenga la respuesta numérica).

c) ¿Cuál es la probabilidad de que una hortaliza que se siembra genere sus frutos exactamente a los 3 meses de ser plantada?

d) El agricultor no puede hacer nada por cambiar el rendimiento en los dos primeros meses; sin embargo desea saber si es conveniente aplicar un tratamiento a todas las plantas que estén vivas al final de su segundo mes, lo que garantiza que generan sus frutos al final del tercer mes y no mueren. Sí el costo del tratamiento de cada planta es de $2 ¿Qué le recomendaría usted? (Justifique la respuesta en forma numérica).

8. El villano Voldemort le ha robado la varita mágica a Harry Potter (HP) y la ha puesto en el vértice 4 de un laberinto trapezoidal. HP para poder recuperarla tendrá que someterse a un juego diseñado por el malvado. El juego consiste en tirar de manera instantánea una moneda con dos lados, Cara y Sello. La probabilidad de que salga Cara es de 0.2. Si sale Cara HP ira hacia el vértice adyacente con numero par, de lo contrario irá hacia vértice adyacente con número impar. HP confía plenamente en la moneda y sabe que el villano la ha embrujado para que de cada 10 tiros n resultados sean opuestos a lo que de verdad salió, donde n corresponde al vértice donde se encuentra HP. Éste debe caminar a una velocidad constante de 1 metro/minuto para no despertar la atención del villano. Además Voldermort ha creado a mitad del camino de 2 hasta 4 una trampa que de caer en ella, con una probabilidad de 0.4, HP quedaría encerrado para siempre dentro de la pirámide. Si HP logra recuperar su varita termina el juego.

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- Plantee el sistema como un proceso de Markov, definiendo claramente los estados y la matriz de transición de un paso.

- Si HP sale del vértice 1, ¿cuál es la probabilidad que HP recupere su varita mágica?

- ¿Cuál es la probabilidad de que Hp en 2 minutos se encuentre en el vértice 1 si tiene la misma probabilidad de iniciar en cualquier vértice?

9. Un vendedor ambulante sale a vender un artículo del cual siempre que sale a vender lleva dos unidades. El vendedor trabaja máximo doss horas en un día, tratando de vender los artículos. La demanda del artículo en cada hora es de 0, 1 o 2 unidades con probabilidades 0.6, 0.3 y 0.1 respectivamente, es decir:

Prob(Dem =0)=0.6, Prob(Dem =1)=0.3 y Prob(Dem =2)=0.1.

Al final de las tres horas el vendedor regresa a su casa con los artículos que le quedan, pero si al final de la primera o la segunda hora ha vendido los dos artículos también se regresa para su casa.

Tenga en cuenta que el vendedor no cubre la demanda insatisfecha, es decir, si la demanda llegara a ser superior a las unidades con las que cuenta en el inventario el vendedor perderá esa oportunidad de vender.

- Plantee la matriz de Markov para este problema.

- Determine el porcentaje de días en que el vendedor regresa a su casa con las manos vacías (es decir con cero artículos) (10%). Responda numéricamente. (5%).

10. El departamento de mercadeo de la empresa “Research S.A“ ha decidido lanzar al mercado dos nuevos productos A y B mediante campañas de mercadeo; la probabilidad de que las ventas de cualquiera de los dos productos durante un mes se consideren buenas al final del mes es de 0.3. Ambos productos son muy diferentes por lo que las ventas se mueven de manera independiente en el mercado.

La empresa determina que si las ventas del producto A se consideran buenas al final de un mes ya permanecerá estable en el mercado para siempre a partir de ese mes por lo que no se vuelve a hacer publicidad en él y mercadeo no vuelve a considerarlo. Para que el producto B se considere estable en el mercado para siempre debe tener ventas buenas durante dos meses consecutivos, en cuyo caso la empresa dejará de invertir publicidad en él y mercadeo no vuelve a considerar el producto; si uno de los productos alcanza la estabilidad, todos los recursos de mercadeo se invierten en aquel producto que no ha alcanzado la estabilidad; si los dos productos se convierten en estables mercadeo deja de considerarlos ambos y no vuelve a hacer publicidad en ninguno de los dos.

- Plantee el problema como un proceso de Markov, definiendo claramente los estados y la matriz de Markov de un solo paso.

- Research S.A desea saber el número promedio de meses que deben pasar para que ambos productos se consideren estables en el tiempo partiendo de su lanzamiento (plantee las ecuaciones necesarias, pero no las resuelva).

- Determine la probabilidad de que partiendo desde el lanzamiento de los productos al mercado, ambos terminen considerándose “estables en el mercado”. (plantee las ecuaciones necesarias, pero no las resuelva).

11. Le proponen un juego para apostar dinero de la siguiente manera: el juego consiste en lanzar una monea cargada de manera que el SELLO tiene el triple de probabilidad de caer que la CARA. En caso de caer CARA usted gana $1.500, pero en caso de caer SELLO usted pierde $100 y podrá seguir jugando, siempre y cuando no se dé una de las dos situaciones para el SELLO que se describen a continuación: si caen tres SELLOS aunque no sea en forma consecutiva, usted debe pagar $500 y reiniciar el juego . Igualmente sucede si caen dos SELLOS consecutivos, en cuyo caso también se deben pagar los $500 y reiniciar el juego. Tenga en cuenta que cuando el juego se reinicia el contador de SELLOS se pone en cero como cuando empieza el juego.

- Defina los estados y plantee la matriz de un solo paso.

- Encuentre el valor promedio a largo plazo que usted obtiene por participar en dicho juego. (Resuelva el problema numéricamente)

- Cuál es la probabilidad de que al iniciar el juego vuelva a estar en el estado de inicio al cabo de dos lanzadas de la moneda (Resuelva el problema numéricamente).

12. Jack el veterinario tiene el papel de cuidar a dos jaguares en un popular zoológico de Manhattan, por lo que debe mantenerse pendiente de estos. Los jaguares suelen enfermarse con frecuencia, por lo que durante el día Jack los revisa permanentemente