TEORIA DE C ALCULO I. Números complejos

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La interpretaci«on geom«etrica del producto de n«umeros complejos es un poco m«as complicada: z1z2 es el n«umero complejo cuyo m«odulo es el producto de los m«odulos de z1 y z2, y cuyo argumento es la suma de los argumentos de z1 y z2.

Definici«on 1.2. Se define el conjugado z del n«umero complejo z = x + iy como z = x − iy.

Desde el punto de vista geom«etrico, z es el punto sim«etrico de z con respecto al eje real. Es evidente que |z|2 = x2 + y2 =(x + iy)(x − iy)= zz. Por tanto, el inverso de z on es

= 0 con respecto a la multiplicaci«

−1 1 zz

z == = .

z zz |z|2

Es f«acil probar que el conjunto de los n«umeros complejos con las operaciones de suma y producto tiene estructura de cuerpo.

Pueden deducirse las siguientes propiedades:

|z1 + z2|≤|z1| + |z2| , |z1|−|z2| ≤|z1 − z2| , |Re z|≤|z| , |Im z|≤|z| , z + zz − z

Re z = , Im z = ,

22i z1

z1 + z2 = z1 + z2 ,z1z2 = z1z2 , (zn)= z n , �z1 � = , z2 z2 |z| = |z| , arg z = − arg z, z1 |z1|√

n

v|z| .

|z1z2| = |z1||z2| , = , |z n| = |z|n , z = n

z2|z2|

3

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Dado que si θ es un argumento de un n«umero complejo, θ +2kπ tambi«en lo es para cualquier k ∈ Z, las siguientes f«ormulas deben ser entendidas en cualquiera de los dos siguientes sentidos: a) arg(z1z2)= arg z1 + arg z2 significa que para cualquier elecci«on de arg z1 y arg z2, se tiene que arg z1 + arg z2 es un argumento de z1z2; b) las f«ormulas son igualdades entre conjuntos si se considera arg z como el conjunto de todos los argumentos de z.

1

arg(z1z2) = arg z1 + arg z2 , arg = arg z = − arg z,

z

arg z1 = arg z1 − arg z2 , arg(z n)= n arg z, z2

√ arg z { ϕ +2kπ

arg( n z )= = : ϕ ∈ arg z,k ∈ Z} .

nn

Tambi«en es destacable la f«ormula de De Moivre (cos θ + i sen θ)n = cos nθ + i sen nθ. Si definimos iθ iθ)n

e= cos θ + i sen θ, la f«ormula anterior resulta m«as “familiar”: (e= einθ. Esta sugerente notaci«on se justificar«a tras estudiar el polinomio de Taylor.

Ahora podemos calcular ra«ıces de orden n de n«umeros complejos de forma sencilla, teniendo en cuenta que θ y θ +2kπ representan el mismo «angulo para cualquier k ∈ Z:

√

√ nn√

n i(θ+2kπ)/n

= n

z = reiθ =vrei(θ+2kπ) re ,k ∈ Z.

Si damos los valores k =0, 1,...,n − 1 se obtienen las n ra«ıces n-«esimas de z √√ √

n iθ/n n i(θ+2π)/n ni(θ+2(n−1)π)/n

re,re ,..., re ,

y es f«acil probar que para cualquier valor de k ∈ Z se obtiene uno de estos n n«umeros complejos. En particular, todo n«umero real tiene n ra«ıces complejas. Por ejemplo, si consideramos el caso n = 2 (las ra«ıces cuadradas), se obtienen dos ra«ıces cuadradas

√ √√

�√ iθ/2 i(θ+2π)/2� = �√ iθ/2 iθ/2+iπ� = ± iθ/2

re,re re,rere.

La funci«on exponencial

- Si y ∈ R, ya hemos definido eiy = cos y + i sen y.

- Si z = x + iy ∈ C, definimos

zx+iy xiy

e = e = ee= e x(cos y + i sen y) ,

zw z+w

• ee= e, ∀ z, w ∈ C.

z+2πi z

• La funci«on exponencial tiene per«ıodo 2πi: e= e.

z