TEORÍA DE CONJUNTOS CONOCIMIENTOS BÁSICOS

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PROPIEDADES

UNION

1.- Idempotencia

A ∪ A = A

2.- Conmutativa

A ∪ B = B ∪ A

3.- Asociativa

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

4.- Neutro

A ∪ ∅ = A

5.- Absorción

A ∪ (A ∩ B) = A

6.- Distributiva

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

7.- Complementariedad

A ∪ A' = U

PROPIEDADES

INTERSECCIÓN

1.

- Idempotencia

A ∩ A = A

2.

- Conmutativa

A ∩ B = B ∩ A

3.

- Asociativa

A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C

4.

– Neutro

A ∩ ∅ = A

5.

- Absorción

A ∩ ( A ∪ B ) = A

6.

- Distributiva

A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C )

7.

- Complementariedad

A ∩ A' = ∅

Dados dos conjuntos

A

y B, se llama diferencia al conjunto

A - B = {a: a ∈A / a ∉ B}.

Ejemplo: Sean los conjuntos A = {a, b, c, d, e, f} y B = {a, h, j}. La diferencia A - B es {b, c, d, e, f}. La diferencia B - A es el conjunto {h, j}

Se llama diferencia simétrica entre A y B al conjunto (A - B) ∪ (B - A).

Ejemplo: Sean los conjuntos A = {a, b, c, d, e, f} y

3

---------------------------------------------------------------

.

4

B = {a, h, j}.

La diferencia A - B es el conjunto {b, c, d, e, f}. La diferencia B - A es el conjunto {h, j}; la diferencia simétrica es el conjunto {b, c, d, e, f, h, j}.

Complemento de un conjunto

Si se considera un conjunto referencial B y A ∈ P(B) entonces la diferencia B - A es el complemento de A con respecto al conjunto B y se denota A'.

Ej. B = {0, 1, 2} y A = {0,1} entonces A' = {2}.

Si A y B son subconjuntos de un cierto conjunto universal U, entonces es fácil ver que A - B = A ∩ B'.

Producto cartesiano de dos conjuntos

Dados dos conjuntos A y B, se define el producto cartesiano de ambos como el conjunto de pares ordenados (a, b) donde a es un elemento de A y b es un elemento de B.

A X B = {(a, b): a ∈ A y b ∈ B}

Ejemplo: Sean A = {a, b, c} y B = {1, 2} dos conjuntos. El producto cartesiano es el conjunto

A x B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)}

El cardinal de un conjunto A es el número de elementos del conjunto A. Se anota # A.

El cardinal del producto cartesiano es el producto de los cardinales de los dos conjuntos, # {A x B} = #{A} x #{B}.

Dos pares (a, b) y (c, d) de A X B son iguales si a = c y b = d.

Si dados cuatro conjuntos A, B, C, D se cumple que

A X B = C X D entonces A = C y B = D y recíprocamente.

Ejercicios

- Sean los conjuntos:

B = {x: x ∈ N, x múltiplo de 2, 0 ∈ Q, x(x2 - 6) = 0}

D = {x: x ∈ N, -x2 + x + 20 > 0}

- Determinar los conjuntos B, C y D por extensión.

- Hallar el conjunto P(B).

- Indicar si es verdadero o falso y justificar:

4 ⊂ B; 4 ∈ B; 3 ∉ C; {-4}⊂ D; ∅ ∈ D; ∅ ⊂ D; {0}⊂ C.

2) Se consideran los siguientes conjuntos:

4

---------------------------------------------------------------

.

5

E = {x: x ∈ N, -x2 + 5x ≥ 0}; A = {x: x ∈ N*, 2x + 7 ∈ N, x2 ≤ 0}.

- Determinarlos por extensión.

- Determinar por enumeración los conjuntos indicados:

1) E - F; 2) E ∩ F; 3)(E – F) ∪ (F – E); 4)A ∪ E, 5)A ∪ E ∪ F. 3) Sean los conjuntos: A = {x: x ∈ ℜ, x ≥ 4x – 3},

B = {x: x ∈ ℜ, 5 ≥ x> -2}, C = {x/x ∈ ℜ, x

i) Representar los conjuntos A, B, C en la recta real y escribirlos como intervalos.

ii) Hallar: A ∩ B; B ∩ C; A ∩ B ∪ C; C ∩ B ∩ A; A – B; C – A. iii) Escribe y representa