Tema: Logica y conjuntos

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i) “la negación de la disyunción es lógicamente equivalente a la conjunción de las negaciones”

~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q

ii) “la negación de la conjunción es lógicamente equivalente a la disyunción de las negaciones”

~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q

Ej. Si las proposiciones p y q son respectivamente Hoy es lunes. ; Tengo 17 años. Tenemos la disyunción y su negación como:

p ∨ q : Hoy es lunes o tengo 17 años

~(p ∨ q): Hoy no es lunes y no tengo 17 años

Ej. Si las proposiciones p y q son respectivamente Lave los platos. ; fumar no es saludable. Interprete la conjunción y su negativa.

p ∧ q : Lave los platos y fumar no es saludable

~(p ∧ q) : No lave los platos ó fumar es saludable

La implicación p ⇒ q

La condicional o implicación esta formada por una hipótesis p y la conclusión q, también llamados antecedente y consecuente.

La expresión p ⇒ q se lee:

Si p entonces q

p implica q

q si p

Ej. Si Carlos, seguidor del América, dice: “Si gana el América, invito los refrescos” es un enunciado condicional, de donde la hipótesis p es que “gane el América” y cuya conclusión q es “invito los refrescos”.

Analicemos este enunciado p ⇒ q.

- Supongamos que ambas proposiciones son ciertas. Tenemos así que p ⇒ q es cierta.

- Supongamos que p es cierta y q es falsa. ¿Qué podemos decir de Carlos? Claro, que es mentiroso, así que

p ⇒ q es falsa.

- Ahora supongamos que p es falsa y q cierta. ¿Qué podemos decir de Carlos? Pues que es muy generoso, mas no mentiroso, ya que no estaba obligado a invitar los refrescos, por lo que p ⇒ q es cierta.

- El ultimo caso, es que ambas sean falsas, ni ganó el América, ni Carlos invito los refrescos, evidentemente la implicación debe ser cierta, ya que la condición para que nos invitaran un refresco, es que ganara el América.

En resumen:

P

Q

P ⇒ Q

C

C

C

C

F

F

F

C

C

F

F

C

Es decir que para que la implicación sea falsa, la conclusión debe serlo también; lo que rige el principio fundamental de la lógica “partiendo de premisas verdaderas debemos llegar a conclusiones verdaderas”.

Si p: yo corro y q: me canso , el enunciado p ⇒ q: Si corro entonces me canso ; donde p es una condición de suficiencia, es decir, correr es una posible causa (entre otras) para cansarse mas no la única. Así el enunciado q ⇒ p: Si me canso entonces corro, es su conversa o reciproca de la implicación, que “aun cuando la implicación sea cierta su conversa puede no serlo” ya que para cansarse puede haber otras causas.

La Bicondicional p ⇔ q

En el caso en que se cumpla la doble implicación (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) tenemos p ⇔ q, es la bicondicional, por ejemplo, sean p: x es un número par y q: x se divide entre 2

Podemos ver que p ⇒ q y q ⇒ p son ciertas, de lo que podemos escribir:

p ⇔ q: x es un numero par si y solo si se divide entre 2.

Negación de la implicación

~ (p ⇒ q) ≡ ~ q ⇒ ~ p

o contrapositiva

La expresión ~ p ⇒ ~ q es la inversa de la implicación, que tiene equivalencia lógica a la conversa, por lo cual su uso no es muy frecuente, mas no debe confundirse con la negación.

Anotaciones:

Las expresiones con el cuantificador universal “Todos “ pueden escribirse de la forma condicional.

Ej. “todos los hombres son mortales” puede escribirse “Si x es hombre entonces es mortal”

En donde ser hombre es la hipótesis para ser mortal.

Diga usted si “todas las aves son gallinas” ò si “Todas las gallinas son aves”? ; ¿Cuál es la hipótesis y cual la conclusión de la implicación cierta?

Tipos de Razonamiento

El razonamiento deductivo, es aquel en que partiendo de casos generales verdaderos (proposición mayor) se llegan a la certeza o falsedad de un caso particular.

El razonamiento inductivo, es una herramienta aceptada en matemáticas, que partiendo de casos particulares podemos decir que una conclusión, sea mas o menos probable, mas no afirmarla rotundamente; piense por ejemplo en el efecto domino, en un fila de libros sobre una repisa y empujando uno de los libros por un extremo, lo cual derriba al primer y al segundo y así sucesivamente, nos suponemos que el ultimo libro del extremo opuesto también a de caer, es muy probable, mas no lo podemos aseverar, eso es inducción.

Conjuntos

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