¿Un número que es una combinación de dos números?

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Dado un número complejo, su conjugado puede representarse poniendo encima del mismo una línea horizontal. Así se escribirá:

Propiedades de los conjugados

· Primera propiedad

El conjugado del conjugado de un complejo z es el propio z.

Demostración:

En efecto si z = a + bi se tiene que = a - bi , de donde, = a + bi = z

· Segunda propiedad

Dados dos números complejos cualesquiera z y z' , el conjugado de su suma es igual a la suma de sus conjugados.

Esto se expresa escribiendo que

Demostración:

Tomando z = a + bi y z' = c + di , se tiene:

= a + bi y ' = c - di , con lo que + ' = (a + bi ) + (c - di ) = (a + c) + (-b - d)i

Por otra parte:

y es fácil ver que esta expresión coincide con la anterior.

· Tercera propiedad

El conjugado del producto de dos números complejos es igual al producto de los conjugados de dichos números:

Demostración:

Si z = a + bi y z = c + di se tiene que z · z = (ac - bd ) + (ad + bc)i , cuyo conjugado es = (ac - bd) - (ad + bc)i .

Calculando por otro lado el producto de los conjugados, resulta que

· ' = (a - bi )( c - di ) = ( ac - bd ) + ( -ad - bc) i .

El resultado es igual al anterior.

· Cuarta propiedad

Los complejos que coinciden con sus conjugados son los números reales.

Demostración:

Sea un complejo a + bi que coincida con su conjugado. Esto equivale a que

a + bi = a - bi

Pero esto sólo ocurre si b = 0, es decir si a + bi es un número real.

· Quinta propiedad

La suma y el producto de un complejo y su conjugado son, ambos, números reales.

Demostración:

(a + bi ) + (a - bi ) = 2a

(a + bi ) (a - bi ) = a2 - (bi )2 = a2 + b2