Una unidad imaginaria que está establecida como , y se representa con la letra
Enviado por Sara • 21 de Diciembre de 2017 • 8.172 Palabras (33 Páginas) • 458 Visitas
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Para calcular la n raíces enésimas de un número complejo en la forma polar utilizaremos el teorema DE MOIVRE.
[pic 38]
Las tres raíces cubicas de -4[pic 39]
Lo anterior puede expresarse como:
(-41/3[pic 40]
Para aplicar el teorema DE MOIVRE debemos transformar el número complejo en la forma polar. Y para transformar u numero complejo “x+yi” a su forma polar se requiere obtener “r” y “, debido a que en el punto P se forma un triángulo rectángulo se usan las siguientes formulas:[pic 41]
r= r= modulo[pic 42]
r≥0
tan=[pic 43][pic 44]
[pic 45]
[pic 46]
Calculamos el modulo:
r= [pic 47]
r= [pic 48]
=[pic 49]
r=[pic 50]
r=8
Ahora calculamos el argumento:
tan=[pic 51][pic 52]
tan= = [pic 53][pic 54][pic 55]
[pic 56]
Primero teníamos la expresión en forma rectangular así:
(-41/3[pic 57][pic 58]
Después lo convertimos a la forma polar calculando el modulo y el argumento y la expresión quedaría así:
[pic 59]
Esta expresión se es lo mismo que elevar el término a 1/3.
[pic 60]
Y ahora si podemos aplicar esta fórmula:
[pic 61]
Obtenemos lo siguiente aplicando la formula:
[pic 62]
Y esto es igual a:
[pic 63]
Simplificando tenemos:
2[Cos(45°+k(120°)) + iSen(45°+k(120°))]
“k” toma valores enteros no negativos desde K=0,1,2….(n-1)
Por lo tanto sustituiremos el valor de la “k”, y como el exponente es “3”, tendremos tres “k”
K=n-1
K=3-1=2
K=2-1=1
K=1-1=0
Sustituimos el valor de k=0
2[Cos(45°+0) + iSen(45°+0)] = 2(Cos45°+iSen45°)
=[pic 64]
[pic 65]
Sustituimos el valor de k=1
2[Cos(45°+120°) + iSen(45°+120°)] = 2(Cos165°+iSen165°)
=2(-0.97+0.26i
)= -1.93+0.52i
Sustituimos el valor de k=2
2[Cos(45°+240°) + iSen(45°+240°)] = 2(Cos285°+iSen285°)
=2(0.26-0.97i)
=0.52-1.93i
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Actividad 1.3 “Mini casos”
1. Formar equipos de cuatro estudiantes como máximo para plantear el problema.
Instrucciones: Describa la metodología para determinar todas las raíces de la ecuación, , utilizando el teorema “DE-MOIVRE”.[pic 66]
[pic 67]
[pic 68]
Se pasan los valores al otro lado del signo de igual.
[pic 69]
Se sacan las raíces.
[pic 70]
Se usa el teorema DE MOIVRE
[pic 71]
Se suman los resultados
[pic 72]
Es el resultado
Ejercicios1.2 Operaciones con números complejos en la forma polar.
Transformar a la forma polar los números complejos dados.
Ejercicio
- [pic 73]
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[pic 97]
[pic 98]
[pic 99]
Transformar
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