PRINCIPIO DE ANÁLISIS DE VARIANZA

PRINCIPIO DE ANÁLISIS DE VARIANZA

1. Introducción

En estadística, el análisis de la varianza (ANOVA, ANalysis Of VAriance, según terminología inglesa) es una colección de modelos estadísticos y sus procedimientos asociados, en el cual la varianza está particionada en ciertos componentes debidos a diferentes variables explicativas.

Las técnicas iniciales del análisis de varianza fueron desarrolladas por el estadístico y genetista R. A. Fisher en los años 1920 y 1930 y es algunas veces conocido como "Anova de Fisher" o "análisis de varianza de Fisher", debido al uso de la distribución F de Fisher como parte del contraste de hipótesis.

El análisis de la varianza parte de los conceptos de regresión lineal. Un análisis de la varianza permite determinar si diferentes tratamientos muestran diferencias significativas o por el contrario puede suponerse que sus medias poblacionales no difieren. El análisis de la varianza permite superar las limitaciones de hacer contrastes bilaterales por parejas que son un mal método para determinar si un conjunto de variables con n > 2 difieren entre sí.

1. Concepto 

El método de ANOVA, es un método de comparación de medias que consiste en la comparación de varios grupos de una variable cuantitativa. El ANOVA es un método estadístico cuya finalidad es probar hipótesis referidas a los parámetros de posición de dos o más poblaciones en estudio.

Un análisis de varianza (ANOVA) prueba la hipótesis de que las medias de dos o más poblaciones son iguales. Los ANOVA evalúan la importancia de uno o más factores al comparar las medias de la variable de respuesta en los diferentes niveles de los factores. La hipótesis nula establece que todas las medias de la población (medias de los niveles de los factores) son iguales mientras que la hipótesis alternativa establece que al menos una es diferente.

El nombre "análisis de varianza" se basa en el enfoque en el cual el procedimiento utiliza las varianzas para determinar si las medias son diferentes. El procedimiento funciona comparando la varianza entre las medias de los grupos y la varianza dentro de los grupos como una manera de determinar si los grupos son todos parte de una población más grande o poblaciones separadas con características diferentes.

Características y supuestos implícitos:

• Compara si tres o más medias poblacionales son iguales.
• Evita la propagación del error.
• Las muestras provienen de poblaciones con una distribución normal.
• Las desviaciones estándar de las poblaciones son iguales.
• Las muestras son independientes.

1. Modelo Estadístico y Matemático

En el ANOVA el primer concepto fundamental es que todo valor observado puede  expresarse mediante la siguiente función:

  Donde:[pic 1][pic 2]

Sería el valor observado (variable dependiente).

  Sería una constante que en la recta de regresión equivale a la ordenada en el origen,[pic 3]

 Es una variable que varía de tratamiento a tratamiento.[pic 4]

• Es una variable aleatoria que añade a la función cierto error que desvía la puntuación observada de la puntuación pronosticada.

Por tanto, a la función de pronóstico la podemos llamar "media del tratamiento i":

[pic 5]

Podemos resumir que las puntuaciones observadas equivalen a las puntuaciones esperadas, más el error aleatorio ([pic 6]). A partir de esa idea, se puede operar:

Restamos a ambos lados de la ecuación (para mantener la igualdad) la media de la variable dependiente:

[pic 7]

Operando se llega finalmente a que:

[pic 8]

Esta ecuación se reescribe frecuentemente como:

[pic 9]

El análisis de varianza de un factor, que es el caso más sencillo, la idea básica del análisis de la varianza es comparar la variación total de un conjunto de muestras y descomponerla como:

      [pic 10]

Donde:[pic 11]

: Es un número real relacionado con la varianza, que mide la variación debida al "factor", "tratamiento" o tipo de situación estudiado.

: Es un número real relacionado con la varianza, que mide la variación dentro de cada "factor", "tratamiento" o tipo de situación.[pic 12]

En el caso de que la diferencia debida al factor o tratamiento no sea estadísticamente significativa puede probarse que las varianzas muéstrales son iguales:

[pic 13]

  Donde:

[pic 14] Es el número de situaciones diferentes o valores del factor se están comparando.

[pic 15] Es el número de mediciones en cada situación se hacen o número de valores disponibles para cada valor del factor.

Así lo que un simple test a partir de la F de Snedecor puede decidir si el factor o tratamiento es estadísticamente significativo.

1. Fuentes de Estudio.

Comparación de múltiples poblaciones

La comparación de múltiples poblaciones de diversos conjuntos de resultados es habitual en los laboratorios analíticos. Así, por ejemplo, puede interesar comparar diversos métodos de análisis con diferentes características, diversos analistas entre sí, o una serie de laboratorios que analizan una misma muestra con el mismo método (ensayos colaborativos). También sería el caso cuando queremos analizar una muestra que ha estado sometida a diferentes tratamientos o ha estado almacenada en diferentes condiciones. En todos estos ejemplos hay dos posibles fuentes de variación: una es el error aleatorio en la medida y la otra es lo que se denomina factor controlado (tipo de método, diferentes condiciones, analista o laboratorio,...). Una de las herramientas estadísticas más utilizadas que permite la separación de las diversas fuentes de variación es el análisis de la varianza.

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