Sintesis y Ejercicios. DERIVADA

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INTRODUCCIÓN.

El concepto de derivada se aplica en los casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una situación. Por ello es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología. 
La derivación constituye una de las operaciones de mayor importancia cuando tratamos de funciones reales de variable real puesto que nos indica la tasa de variación de la función en un instante determinado o para un valor determinado de la variable, si ésta no es el tiempo. Por tanto, la derivada de una función para un valor de la variable es la tasa de variación instantánea de dicha función y para el valor concreto de la variable. 
Un aspecto importante en el estudio de la derivada  de una función es que la pendiente o inclinación de la recta tangente a la curva en un punto representa la rapidez de cambio instantáneo. Así pues, cuanto mayor es la inclinación de la recta tangente en un punto, mayor es la rapidez de cambio del valor de la función en las proximidades del punto.

DEFINICIÓN

La derivada es uno de los conceptos más importante en matemáticas. La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. La derivada, por lo tanto, representa cómo se modifica una función a medida que su entrada también registra alteraciones. En los casos de las funciones de valores reales de una única variable, la derivada representa, en un cierto punto, el valor de la pendiente de la recta tangente al gráfico de la función en dicho punto.[pic 4]

TIPOS DE DERIVADA.

Derivada de una función: La derivada de una función f(x) en un punto x=a se define como el valor del límite, cuando existe de un cociente incrementado o incremental, si ese incremento que tiene la variable es similar a cero.

Derivada algebraica: La derivada es la pendiente de una recta tangente a la función de un determinado punto, por lo que la función tiene que estar en ese punto donde se podrá trazar una recta que es tangente en él.

Derivada del producto: La derivada de un producto en dos funciones es similar al primer factor multiplicado por la derivada del segundo sumándole el segundo factor y multiplicándolo por la derivada del primero. Ejemplo:f(x)=u.v entonces f’(x)=u’.v+u.v’

Derivada del cociente: La derivada que tiene un cociente en dos funciones es similar a la derivada que tiene el numerador multiplicada por el denominador y menos la derivada que tiene el denominador por el numerador, dividida entre el cuadrado que tiene el denominador. Ejemplo: si f(x)=u/v

Derivadas exponenciales: La derivada de una función que es exponencial es igual a esa misma función por el logaritmo de la base o neperiano multiplicado por la derivada del exponente. Ejemplo: f(x)=au  entonces f’(x)=u’.au .Ina

Derivada inmediata: La derivada que tiene una constante siempre es cero Si f(x)= k entonces su derivada será f’(x)=0

Derivada de suma: La derivada de la suma que tiene dos funciones es similar a la suma de las demás derivadas que tienen esas funciones. Esta regla se aplica a números de sumandos tanto positivos como negativos. Ejemplo: f(x)=u ± v entonces F”(x)=u” ± v

Derivadas de orden superior: La derivada de cualquier función es derivada de una segunda función cuando si f(X) es una determinada función y tiene una primera derivada f’(x) si la derivada que tiene la función que se ha obtenido, cuando se ha aplicado la derivada, se denomina segunda derivada.

Derivada de la función trigonométrica: Es un proceso en matemática mediante el cual una función trigonométrica cambia con relación a la variable independiente o derivada de una función. Estas funciones de tipo trigonométrico son sin(x), cos(x) y tan(x).

Funciones  de derivación implícitas: Es implícita cuando en una función la y son se encuentra despejada y la relación que se da entre x e y está dada por una ecuación de dos tipos de incógnitas en las que el segundo miembro es cero. Para encontrar la derivación implícita no se necesita despejar y solo tienes que derivar miembro a miembro. Ejemplo: x1=1, entonces y1≠1. Se omite x1  y se deja y1.

Derivadas trigonométricas inversas: Son las funciones inversas a las razones de trigonometría definidas por el seno, coseno y la tangente. Ejemplo: El arcoseno tiende a ser una función inversa del seno.

PROPIEDADES DE LA DERIVADA.

1. Si tenemos una función f(x): X → Y y esta es diferente en un punto P, entonces podemos entender que la función f(x) será continua en el punto p.

2. El resultado obtenido de la suma de la derivada de 2 funciones será igual a la suma de las derivadas de dichas funciones tomadas individualmente. Esta resta también es aplicada cuando se utiliza la resta. A esta propiedad se le conoce también como la regla de la linealidad.