Algebra. Inversa de una matriz (Por determinantes)

Inversa de una matriz (Por determinantes)

Definición

La inversa de una matriz es aquella que al multiplicarla por la matriz original nos da como resultado la matriz identidad

A*A-1 = I

Dada la siguiente matriz, Halla su inversa

[pic 1]

Para hallar A-1 primero se debe saber si la matriz es invertible o no, esto se sabe calculando la determinante de “A”

[pic 2]

Para ello se multiplica la diagonal principal y se suma con la multiplicación de las esquinas formado triángulos

[pic 3]

De tal manera que nos queda:

• iAI=1*0*7+0*-1*4+2*-2*-2
• iAI= 0 + 0 + 8

Se realiza el mismo procedimiento con la diagonal secundaria, pero se resta

[pic 4]

• iAI= 8 - 0*0*2 – 7*-2*-1 -1* -2*4
• iAi= 8 – 0 – 14 + 8
• iAi= 2

Si IAI≠0 SIGNIFICA QUE LA MATRIZ ES INVERTIBLE, por lo tanto “A” sí tiene inversa

Para hallar la inversa de una matriz por determinantes se utiliza la fórmula

A-1 = Adj(AT)/IAI

Donde:

• AT es la traspuesta
• Adj es el adjunto
• iAi es el Determinante
• Tambien se puede obtener Hallando primero la adjunta y después la traspuesta:    A-1 = (AdjA)T/IAI

Hallamos AT intercambiando filas por columnas

[pic 5][pic 6]

Para Hallar los El adjunto Bi,j  se eliminan la fila y columna donde se encuentra ese mismo elemento

[pic 7]

B1,1=(-1)1+1*        = (-1)2*(0*7-4*-2)=1*(0+8)=8

 Y se repite el mismo procedimiento con todos los elementos de la matriz traspuesta

• Después de hallar el adjunto de todos los elementos se obtiene la matriz b

[pic 8]

Finalmente se  termina con la fórmula A-1 = Adj(AT)/IAI

[pic 9]

Entonces obtenemos  A-1=

[pic 10]

En matemáticas, en particular en álgebra lineal, unamatriz cuadrada A de orden n se dice que es invertible, no singular, no degenerada o regular si existe otra matriz cuadrada de orden n, llamadamatriz inversa de A y representada como A−1, tal que: , donde In es la matriz identidad de orden n y el producto utilizado

Con esto se concluye el tema expuesto que es la inversa de una matriz