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Bloque II. Utilizas magnitudes y números reales.

Números reales, representaciones y operaciones.

Un concepto muy importante en matemática es la inclusión; término que está implícito cuanto trabajamos con conjuntos.

En matemáticas, un conjunto es una colección de objetos llamados elementos; éstos pueden ser números, cosas o símbolos, etcétera.

Decimos que el conjunto B está incluido en conjunto A si todos los elementos de B se encuentran también en A; lo que no significa necesariamente que todos los elementos de A se deben encontrar en B.

Números reales, representaciones y operaciones.

NÚMEROS NATURALES.

Los números naturales son aquellos que resultan de contar, por ello es muy sencillo determinarlos, ya que basta con numerar los elementos de cualquier conjunto para que estos surjan.

Los números naturales se representan con el símbolo N. Para escribir este conjunto de números se utiliza la siguiente notación:

[pic 21]

Este conjunto no tiene un elemento final o último, porque dado cualquier número natural siempre es posible encontrar uno mayor; no importa qué tan grande sea. Esta noción gira en torno a una idea fundamental de las matemáticas: el infinito. Esta idea se expresa matemáticamente con el símbolo. En resumen, los números naturales son un conjunto infinito.[pic 22]

Números Enteros.

Antes de definir los números enteros, es necesario que abordemos algunos conceptos. El cero es llamado neutro aditivo, ya que si sumamos cero a cualquier número se obtendrá el mismo número, es decir:

[pic 23]

[pic 24]

En general, si a es un número natural [pic 25]

Para cada número natural, distinto de cero, hay otro número que llamamos inverso aditivo o simétrico, de manera que al sumarlos se obtiene el neutro aditivo, es decir, el cero.

[pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

En general: si a es un número natural distinto de cero: .[pic 29]

Los números enteros se encuentran conformados por los números naturales, sus simétricos y el cero, se representan con la letra Z.

El origen de la letra Z proviene de la palabra alemana Zhalem, que significa número.

[pic 30]

Al subconjunto de los enteros que forman los simétricos de los naturales, distintos de cero, los llamamos enteros negativos; este conjunto se representa con el símbolo [pic 31]

[pic 32]

Al conjunto de los naturales también los podremos nombrar como el de los enteros positivos; se puede representar con la letra .[pic 33]

[pic 34]

Números racionales.

Los números racionales los definimos de dos formas distintas.

Primera definición: los números racionales se definen como la división de dos números enteros, en los cuales el divisor es distinto de cero; eso se representa simbólicamente como:

Simbología

[pic 35]

a,b Representan números enteros.

Es la forma de los números racionales.[pic 36]

| “tal que” o “De manera que”.

Pertenece.[pic 37]

Diferente.[pic 38]

La expresión anterior se lee: “Los números racionales son aquellos que tienen la forma tales que a y b pertenecen a los números enteros y b es distinto de cero”.[pic 39]

Ejemplos de números racionales:

Ya que 2 pertenece a los enteros, y 3 pertenece a los enteros.[pic 40]

ya que -5 y 4 pertenecen al conjunto de los enteros.[pic 41]

ya que -4 y -3 pertenecen al conjunto de los enteros.[pic 42]

Segunda definición: los números racionales son aquellos que tienen decimal periódico. A continuación mostramos unos ejemplos de números racionales que son escritos de una forma equivalente, para que se aprecie que cumplen con la definición:

4 que es equivalente a 4.0000… y se representa matemáticamente como .[pic 43]

-5 que es equivalente a -5.0000… y se representa como .[pic 44]

que es equivalente a 0.33333… y se representa como [pic 45][pic 46]

que es equivalente a 6.63636363… y se representa como [pic 47][pic 48]

Los números racionales, a los que representamos con la letra Q, están formados por los enteros y los números decimales expresados con punto decimal o de la forma .[pic 49]

[pic 50]

La letra Q se ha tomado de la palabra inglesa Quantum, que significa cociente.

Números irracionales.

Otro conjunto que hemos tratado a lo largo de nuestros estudios de matemáticas son los números irracionales, los cuales tienen un decimal no periódico.

Encontramos ejemplos de números irracionales en algunas raíces que no son exactas y en algunos números específicos como el número (pi). Observa que en los ejemplos mostrados a continuación el decimal de cada uno de los números carece de un periodo.[pic 51]

que equivale aproximadamente a 1.414213562373…[pic 52]

que equivale aproximadamente a 3.14159265358979…[pic 53]

que equivale aproximadamente a 2.71828118284590…[pic 54]

Operaciones de los números reales.

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