DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS , DIVISION DE UN TRAZO y LUGAR GEOMETRICO.

...

-5x =+

Respuesta:

Sea ( h, k ) el centro de la circunferencia. Como el centro pasa por la recta se cumple que: )1(02125=+−kh

Además, como la circunferencia es tangente a los ejes coordenados h = k.

Luego, reemplazando en la ecuación (1) se llega a:

khhh=−=⇒−=−72125

La ecuación de la circunferencia es: 49)7()7(22=+++yx

5.- La recta y = x + 1 , y la parábola y = x2 +3x – 4 , se cortan en dos puntos.

a) Encuentre dichos puntos.

b) Determine la ecuación de la recta que une ambos puntos.

Respuesta:

a) 4312−+=+xxx 0522=−+xx 2242±−=x 61±=x

luego los puntos son ( 6,61+− ) y ( 6,61−− ) .

b) La ecuación que une dichos puntos es 1+=xy

6.- Encuentre la ecuación de las siguientes curvas:

a) Una elipse con centro en el origen, un foco en punto F(3,0) y cuyo eje menor mide 8 unidades.

b) Una circunferencia en que su diámetro está determinado por los focos de la elipse anterior.

Respuesta:

a) Ecuación elipse: 12222=+byax. Por enunciado se sabe que c = 3 y b = 4. Luego: 25916222=+=+=cba 1162522=+⇒yx

b) Como el foco es el punto (3,0). Luego la ecuación de la circunferencia es: 3=⇒r 922=+yx

7.- Hallar la ecuación de una circunferencia cuyo centro está sobre el eje X y que pasa por los puntos ( 1, 3 ) y ( 4, 6 ).

Respuesta:

Como la circunferencia está centrada en el eje X, la ecuación es de la forma:

222)(Ryhx=+−

Como pasa por los puntos ( 1, 3 ) y ( 4, 6 ) deben satisfacer la ecuación; es decir: 222236)4(9)1(RhRh=+−=+−

Igualando las dos ecuaciones se llega a: 74263681692122=→=⇒++−=++−hhhhhh

Reemplazando el valor de h en cualquiera de las dos ecuaciones anteriores se llega a: 452=R

Luego la ecuación de la circunferencia es: 45)7(22=+−yx

8.- Un arco de un edificio tiene forma de parábola. La altura del arco es de 30 pies, y el ancho de la

base del arco es de 20 pies. ¿Qué ancho tiene el arco a 10 pies por arriba de la base del arco?

Respuesta.

Modelando el problema se obtiene:

30

10

a 10

Según el modelo, la ecuación de la parábola es de la forma: )30(42−=ypx

Y el punto ( 10, 0 ) pertenece a la parábola, es decir satisface:

65304100−=⇒−⋅=pp

Luego la ecuación es: )30(3102−−=yx.

Si piesxxy16.83200102≈⇒=⇒=

9.- Un carpintero desea cortar una pieza de madera rectangular en forma elíptica para construir la parte superior de una mesa con esa forma. Si la pieza de madera rectangular mide 5 x 4 metros, y se desea utilizar toda la longitud y ancho disponible, ¿cuál sería la longitud del eje mayor y donde deben estar ubicadas las tachuelas para poder dibujar la elipse?

Respuesta:

5

4

La longitud del eje mayor es 5, y las tachuelas deben ser colocadas en los vértices de la elipse cuyas coordenadas son:

(2.5, 0) ; (-2.5, 0) ; ( 0,2) ; ( 0, -2 )

10.- Considere la cónica de ecuación: 01118169422=−−−+yxyx

Identifique la cónica y determine los puntos más relevantes de ella. Haga el gráfico de la cónica.

Respuesta:

Agrupando términos se obtiene: Elipseyxyxyyxxyyxx→=−+−=++=−+−=−+−=−+−14)1(9)2(36:/3691611)1(9)2(411)2(9)4(41118916422222222

De la elipse se conoce: 55;2;3222=⇒=−===cbacba.

Centro: )1,2(=C

Vértices: )1,2();3,2();1,1();1,5(4321−==−==VVVV

Longitud eje mayor = 6

Longitud eje menor = 4.

Focos: )1,52();1,52(21−=+=FF

Excentricidad: 174.035<≈==ace

Gráfica:

V3

V2 F2 C F1 V1

V4

11.- Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica a la circunferencia de ecuación

017y6x42y2x=−+−+ que sea tangente a la recta 3x – 4y + 7 = 0

Respuesta: )3,2(309417)3()2(017642222−⇒=++=++−⇔=−++−Cyxyyxx

Como la circunferencia buscada tiene el mismo centro que la anterior y es tangente a la recta, ocupamos la fórmula de la distancia de un punto a una recta para encontrar su radio: 13254973423=++−⋅−⋅==rd

Luego la ecuación de la circunferencia buscada es: 13625)3()2(22=++−yx

12.- Encuentre si es que existe k en los reales, tal que la recta kx + 2ky + 9 = 0 , pase por el centro de la circunferencia de ecuación x2 – 8x + y2 + 6y = 0.

Respuesta:

Encontramos el centro de la circunferencia completando cuadrados

(x – 4)2 + (y + 3)2 = 25

es decir, el centro tiene coordenadas (4 , -3)

remplazando en la ecuación de la recta nos queda

4k – 6k + 9 = 0

k = 9/2

13.- La altura de un arco de forma parabólica es de 12 metros y la longitud