ALGUNAS DEMOSTRACIONES DE TEMAS TEORICOS DEL PROGRAMA DE ALGEBRA Y GEOMETRIA ANALITICA

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Para probar que S = S1 + S2 es efectivamente un subespacio vectorial de V debe cumplirse:

a.- Que S no sea vacío

Como definíamos la suma de subespacios de modo que si v pertenece a S entonces v = v1 + v2 con v1 perteneciente a S1 y v2 perteneciente a S2, al ser S1 y S2 subespacios el vector nulo 0 pertenece a ambos, por lo que dicho vector también pertenece a S, lo que demuestra que la suma de subespacios cuenta por lo menos con un elemento: el vector nulo.

b.- Que sea cerrado para la suma

Consideremos un vector u que pertenece a S = S1 + S2 y un vector v que pertenece a S = S1 + S2.

Debemos probar que u + v pertenece a S = S1 + S2.

Si u pertenece a S1 + S2 entonces u = u1 + u2 con u1 perteneciente a S1 y u2 perteneciente a S2, por definición de suma de subespacios.

Del mismo modo, si v pertenece a S1 + S2 entonces v = v1 + v2 con v1 perteneciente a S1 y v2 perteneciente a S2, por similar razón.

Por lo tanto, u + v = (u1 +u2) + (v1 + v2)

Al segundo miembro de esta expresión la podemos agrupar aplicando la propiedad asociativa de la suma de vectores de la siguiente forma:

u + v = (u1 + v1) + (u2 + v2) (1)

En la ecuación (1), el primer término encerrado entre paréntesis incluye a dos vectores pertenecientes a S1 (u1 y v1), por lo que hemos expuesto en los párrafos anteriores. El segundo sumando incluye a dos vectores pertenecientes a S2 (u2 y v2), por la misma razón. En consecuencia, u + v (vector perteneciente a S) está calculado como suma de un vector de S1 y un vector de S2, con lo cual probamos que esta operación entre subespacios es cerrada para la suma.

c.- Que sea cerrado para el producto por un escalar

Consideremos un vector u que pertenece a S = S1 + S2 y un escalar α que pertenece al cuerpo de los números reales (R).

Obviamente u = u1 +u2, con u1 perteneciente a S1 y u2 perteneciente a S2, por definición de suma de subespacios.

Debemos probar que αu pertenece a S1 + S2.

Si u pertenece a S = S1 + S2, entonces u = u1 + u2, como hemos señalado más arriba.

Multiplicando miembro a miembro por el escalar α, resulta:

α u = α(u1 + u2) = αu1 + αu2 (2)

Como S1 es por definición subespacio vectorial de V, entonces es cerrado para el producto por un escalar, por lo que αu1 pertenece a S1

De la misma manera, como S2 es por definición subespacio vectorial de V, entonces es cerrado para el producto por un escalar, por lo que αu2 pertenece a S2

Si los dos sumandos del segundo miembro de la ecuación indicada como (2) pertenecen respectivamente a S1 y a S2, entonces por definición de suma de subespacios, el vector αu pertenece a S = S1 + S2, con lo que queda demostrado que esta operación es cerrada para el producto por un escalar y por lo tanto la suma de subespacios es también un subespacio vectorial de V.

3.- El complemento ortogonal de un subespacio vectorial es también subespacio vectorial

Definíamos complemento ortogonal de un subespacio S [pic 16] V (siendo V espacio vectorial) a un conjunto, que designábamos como S[pic 17], formado por todos aquellos vectores u pertenecientes a V que eran perpendiculares a todos los vectores v pertenecientes a S.

Es decir, que S[pic 18]= {u ε V/ u . v = 0 con v ε S}

Para probar que S[pic 19] es un subespacio vectorial, debemos probar que se cumplan las tres condiciones siguientes:

a.- Que S[pic 20] no sea vacío

Como S es subespacio vectorial de V, el vector nulo 0 pertenece a S. Como u . 0 = 0, con u perteneciente a S[pic 21], entonces u = 0 verifica la ecuación anterior, por lo que el complemento ortogonal no es vacío.

b.- Que sea cerrado para la suma

Se debe probar que si u1 y u2 pertenecen a S[pic 22], entonces u1 + u2 también pertenecen a S[pic 23].

Consideremos un vector v perteneciente a S.

Por definición de complemento ortogonal,

u1 . v = 0 (1)

y

u2 . v = 0 (2)

Sumando miembro a miembro (1) y (2):

u1 . v + u2 . v = 0 [pic 24] (u1 + u2) . v = 0 [pic 25] (u1 + u2) es perpendicular a v [pic 26] u1 + u2 pertenece a S[pic 27] [pic 28] S[pic 29] es cerrado para la suma.

c.- Que sea cerrado para el producto por un escalar

Se debe demostrar que si u pertenece a S[pic 30], entonces αu pertenece a S[pic 31].

Si u pertenece a S[pic 32], entonces u . v = 0 con v ε S.

Multiplicando miembro a miembro la ecuación anterior por el escalar α, resulta:

α(u . v) = α0 = 0

Aplicando la propiedad asociativa mixta del producto escalar de vectores con un número real, resulta:

αu . v = 0

con lo cual resulta que αu es perpendicular a v, y por lo tanto pertenece al complemento ortogonal de S, es decir a S[pic 33]. Con ello queda probado que es cerrado para el producto con un escalar y por lo tanto S[pic 34]es un subespacio vectorial de V.

4.- El conjunto S de todas las combinaciones lineales de A = {v1, v2,…, vn} es un subespacio vectorial de V

Este concepto es el de subespacio generado. Se dice que S es el subespacio generado por los elementos de A, y se suele designar como S = gen {v1, v2, … vn}

Debe demostrarse que el conjunto S así conformado es un subespacio vectorial de V. Para ello deben cumplirse las condiciones siguientes:

a.-