ALGEBRA TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIA ANALITICA TRABAJO 1.-

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eje mayor ⇒ 5√2

b = semi eje menor ⇒ 3√2

la semi distancia focal c

c = √(a² - b²) = √(50 - 18) = √32 = 4√2

las coordenadas de los vértices

(h, k ± a) ⇒ (1, -2 ± 5√2) ⇒ (1, -2 + 5√2) y (1, -2 - 5√2)

las coordenadas de los co-vértices

(h ± b, k) ⇒ (1 ± 3√2, -2) ⇒ (1 + 3√2, -2) y (1 - 3√2, -2)

las coordenadas de los focos

(h, k ± c) ⇒ (1, -2 ± 4√2) ⇒ (1, -2 + 4√2) y (1, -2 - 4√2)

4. de la siguiente parábola 9x² + 24x + 72y + 16 = 0 determine: focos, vértice y directriz

9x² + 24x + 72y + 16 = 0

9x² + 24x + 16 = -72y

Lo que hay al lado izquierdo del igual es un trinomio cuadrado perfecto, por tanto:

(3x + 4)² = -72y

Dejamos las "x" con coeficiente 1 factorizando dentro del paréntesis:

{ 3[ x + (4/3) ] } ² = -72y

Aplicamos propiedades de las potencias: "la potencia de un producto es el producto de las potencias":

3²[ x + (4/3) ] ² = -72y

9[ x + (4/3) ] ² = -72y

[ x + (4/3) ] ² = -72y/9

[ x + (4/3) ] ² = -8y

[ x - (-4/3) ] ² = -8(y - 0) . . . . . . (i)

Nuevamente (i) tiene la forma

(x - h)² = -4p(y - k)

que es la ecuación de una parábola vertical que abre sus ramas hacia abajo, cuyo vértice está en (h, k) y su distancia del vértice al foco es "p":

h = -4/3

k = 0

El vértice está en V(-4/3, 0).

4p = 8

p = 8/4

p = 2

El foco está en (h, k - p):

F(-4/3, 0 - 2) = F(-4/3, -2)

El lado recto mide 8 unidades:

LR = 4p

LR = 4(2)

LR = 8

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D: x + 5 = 0

x = -5 . . . recta vertical

Como la directriz es una recta vertical, deducimos que la parábola es horizontal.

V(0, 3)

Deducimos que

h = 0

k = 3

Como la directriz está a la izquierda del vértice, deducimos que la parábola abre sus ramas hacia la derecha. También podemos deducir la distancia "p" entre la directriz y el vértice (que es la misma que entre el vértice y el foco):

p = h - x

p = 0 - (-5)

p = 5

La ecuación de una parábola horizontal que abre sus ramas hacia la derecha, con vértice en (h, k) y con distancia "p" del vértice al foco viene dada por:

(y - k)² = 4p(x - h)

Reemplazamos todos los valores conocidos:

(y - 3)² = 4(5)(x - 0)

(y - 3)² = 20(x - 0)

(y - 3)² = 20x

La anterior es la ecuación buscada. Podemos continuar hallando el foco y el lado recto:

F(h + p, k) = F(0 + 5, 3) = F(5, 3)

LR = 4p

LR = 4(5)

LR = 20