APLICACIÓN A LA INTERPOLACIÓN MEDIATE POLINOMIOS

...

Solución

Evidentemente x0 = 1 y x1= 1, mientras que ya que haber dos coches o un camión. Se tiene que (las 3 combinaciones posibles son ccc, cC, Cc) y . La clave de este método es encontrar una forma de expresar cada subsucesion en termino de los valores anteriores. En este caso, se afirma que [pic 17][pic 18][pic 19][pic 20]

Xk+2 = Xk+1 para todo k (*)[pic 21]

En realidad cada forma de rellenar k+2 plazas pertenece a una ded estas dos categorías: o bien se aparca un coche en la primera plaza ( y las k+1 plazas restantes se completan de Xk+1 formas) o bien aparca un camión en las dos primeras plazas ( con lo que otras k se completan de xk formas ). Por tanto, hay xk+1 + xk maneras de cubrir k+2 plazas, esto es (*)

La recurrencia (*) determina xk para todo k cuando x0 y x1 se dan. De hecho los primeros valores son:[pic 23][pic 22]

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

Obviamente se puede encontrar para cualquier valor de k pero se desea hallar una formula para x1 en función de k. resulta una formula asi se puede encontrar utilizando la diagonalizacion.[pic 29]

APLICACIÓN AL CRECIMIENTO DE POBLACIONES

Una de las más útiles aplicaciones de la diagonalizacion de matrices es la modelización del crecimiento de poblaciones de especies animales y esto ha centrado aún más la atención en los últimos años, debido a que cada vez más especies están en peligro de extinción. Primero se observa cómo evoluciona en el tiempo la población de una única especie y después se examina la interacción de dos especies y el efecto sobre la población de una única especie y después se examina la interacción de dos especies y el efecto sobre la población. En ambos casos, el modelo utilizado es un sistema dinámico lineal.

Un modelo de especie simple

Se comenzara examinando como cambia con el tiempo la población de una especie, haciendo supuestos sobre la supervivencia y de reproducción. El ejemplo utilizado abarca las aves, pero el modelo se puede modificar para ajustarlo a otras especies.

EJEMPLO 1[pic 30]

Considerese la evolución de la población de una especie de aves. Ya que el numero de machos y hembras es prácticamente el mismo se contabiliza únicamente las hembras. Se asume que cada hembra joven durante un año y despues se convierte en adulta y que solamente los adultos tienen descendencia. Se realiza tres supuestos sobre las tasas de reproducción y de supervivencia:

- El numero de hembras jóvenes nacidas en cualquier año, en promedio, dos veces el numero de hembras adultas vivas el año anterior ( se dice que la tasa de reproducción es 2)

- La mitad de las hembras adultas de cualquier año sobreviven al año siguiente ( se dice que la tasa de supervivencia de adultos es )[pic 31]

- Un cuarto de las hembras jóvenes de cualquier año sobreviven y llegan a la edad adulta ( se dice que la tasa de supervivencia de jóvenes es )[pic 32]

- Si inicialmente había 100 hembras adultas y 40 hembras jóvenes calcular de la población de hembras, k años más tarde.

Solución

Sean y los términos que denotan, respectivamente, el número de hembras adultas y de hembras jóvenes después de k años, de manera que la población total es la suma [pic 33][pic 34]

+[pic 35][pic 36]

El supuesto 1 indica que , y 3 muestran que . Por tanto los números de de sucesivos años esgtan relacionados mediante las siguientes ecuaciones[pic 37][pic 38][pic 39]

[pic 40]

[pic 41]

Si se escribe = y A= , estas ecuaciones tienen forma matricial de un sistema dinámico lineal:[pic 42][pic 43][pic 44]

para todo k=0,1,2,….[pic 45]

donde a la columna se la conoce como perfil de población para las especies.[pic 47][pic 46]

Se tiene , por lo que los valores propios son[pic 48]

y , con los correspondientes vectores propios[pic 49][pic 50]

y ,respectivamente[pic 51][pic 52]

La matriz P= = es invertible y, por tanto una matriz de diagonalizacion para A. los coeficientes b del Teorema 5 vienen dados por[pic 53][pic 54][pic 55]

= = [pic 56][pic 57][pic 58][pic 59][pic 60][pic 61]