Bucle de Primer Orden

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igura 11. Oscilaciones mantenidas en un bucle de realimentación[pic 11]

de Cuarto orden positivo

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[pic 12]

Figura 12. Oscilaciones mantenidas que se desestabilizan en un crecimiento

exponencial (ciclo de realimentación positiva de cuarto orden)

5. APENDICE A: ALGUNAS SOLUCIONES A EXPLORACIONES

5.1 Sistema de Segundo Orden

El modelo geométrico (mostrado en la Figura 13) es llamado modelo de "silla". Para ver porque se le da este nombre, imagine dejar un rollo de mármol desenrollado en una silla de caballo cayendo a los lados donde normalmente irían nuestras piernas. Si fuera capaz de poner el rollo justo a la derecha, usted podría equilibrarlo en el centro de la silla, y no caería en esta dirección. Si fuera aún más cuidadoso, podría colocar el rollo en la cima de la silla centrado a izquierda y derecha, y lo enrollaría hacia abajo hasta el centro, pero no caería tampoco a ese lado. Si la silla fuera viscosa, entonces el rollo demoraría en detenerse en el centro. Las dos órbitas con condiciones iniciales (-3,3) y (2,-2) están en la trayectoria equilibrada a lo largo de la silla. Ellas se acercan exponencialmente hacia el origen mientras crecen en cada lado hacia la infinidad.

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[pic 13]

Figura 13. Trayectorias en una silla desde 10 diferentes condiciones iniciales.

5.2 Sistema de Tercer Orden

Este modelo consiste en que se trata de un modelo tridimensional. La Figura 14 muestra lo que parece desde una perspectiva. La mejor manera mejor para verlo es probablemente mirarlo como corre en la simulación, arrojando entre las perspectivas.

[pic 14]

Figura 14. Trayectorias en el sistema de tercer orden.

3 trayectorias decayendo; 6 expandiéndose

En el centro se pueden ver las oscilaciones decayendo. Ellas forman el modelo de espiral. Tirando las órbitas superior derecha e inferior izquierda se ve la perturbación en un crecimiento exponencial. Digamos que los espirales son un avión y los puntos exponenciales del jet son perpendiculares a este avión. Si un punto comienza en el avión va a permanecer en él girando en el origen Si se pudiera mirar por el borde del avión, las trayectorias lucirían mucho más como las trayectorias vistas en la silla. Ahora se podría pensar en ellas como un par de vórtices puestos al final para terminar. El agua se precipita hacia abajo en un remolino y después se dispara en un chorro. La silla es un poco como una sección de una cruz vertical de los vórtices. Quizá una manera más simple es mirarlo como la combinación de oscilaciones que están decayendo (espirales) y crecimiento exponencial (jet), cada uno en su dirección propia.

5.3 Sistema de Cuarto Orden

Las oscilaciones continúan uniformes hasta que son lanzadas al infinito. La forma para ilustrar esto es usar las geometrías sencillas mostradas para los sistemas de segundo y de tercer orden. El modelo se complica aún más y ahora es de cuatro dimensionesLa manera de pensar sobre esto es ilustrar las órbitas como viajando alrededor de un cilindro. En el avión, cortando el cilindro y el origen, las órbitas van alrededor en un círculo. Esta es la oscilación mantenida. Arriba y abajo en este avión, la órbita vuela lejos, pero ellos continúan en espiral rodeando el cilindro.

5.4 Sistema de Quinto Orden

¿Puede encontrar la condición inicial (para el sistema de quinto orden) del resultado de las oscilaciones que decaen?

Aquí están. Trate y observe también los puntos más cercanos.

a =1 c = cos(2π/5) e = -cos(π/5)

b = -cos(π/5) d = cos(2π/5)

6. APENDICE B. ECUACIONES Y MODELOS

6.1 Bucle de Primer Orden

a(t) = a(t - dt) + (da) * dt

INIT a = 1

da = a

6.2 Bucle de Segundo Orden

a(t) = a(t - dt) + (da) * dt

INIT a = 1

da = b

b(t) = b(t - dt) + (db) * dt

INIT b = -1

db = a

6.3 Bucle de Tercer Orden

a(t) = a(t - dt) + (da) * dt

INIT a = 1

da = c

b(t) = b(t - dt) + (db) * dt

INIT b = -1

db = a

c(t) = c(t - dt) + (dc) * dt

INIT c = 0

dc = b

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6.4 Bucle de Cuarto Orden

a(t) = a(t - dt) + (da) * dt

INIT a = 1

da = d

b(t) = b(t - dt) + (db) * dt

INIT b = -1

db = a

c(t) = c(t - dt) + (dc) * dt

INIT c = 0

dc = b

d(t) = d(t - dt) + (dd) * dt

INIT d = 0

dd = c

6.5 Bucle de Quinto Orden