CAPITULO 2. TENSIONES EN ELEMENTOS DE MAQUINA.

...

La tensión σM producida por Mf es:

[pic 13] (1)

en la cual:

σM es la tensión [ Pa]

x es la separación del punto en el cual estamos calculando σM, al eje del cubo [ m ]

Mf es el momento flector aplicado ( Mf = P e ) [ N m]

I es la inercia de la sección transversal de la pieza [ m4 ].

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]

(a) (b) (c)

Figura 2.3: (a) Cubo sometido a la acción de la carga vertical P, no axial; (b) superposición de efectos producidos por dicha carga, en la cual se muestran las expresiones gráficas de las tensiones [pic 22] y [pic 23];(c) diagrama de la tensión resultante, expresión (2) del aparte 2.3.

Sumando los dos diagramas de la figura 2.3-b, obtenemos la distribución de tensiones resultante, representada en la figura 2.3-c, la cual será función de los valores correspondientes a la carga P y a la excentricidad e.

La expresión de la tensión resultante es entonces:

[pic 24] (2)

Si hacemos uso de la Inercia de las Superficies Planas, recordamos que el RADIO DE GIRO R de una superficie de área A, para un eje alrededor del cual la inercia es I, están relacionados por la expresión

[pic 25], es decir, [pic 26] (3)

Si sustituimos en la expresión (2) el valor de I dado por (3), y el momento Mf = P e, obtenemos

[pic 27] (4)

Factorizando, la expresión (4) resulta

[pic 28] (4a)

Esta es la tensión resultante en una "porción" de la pieza, que se encuentra a una distancia x del eje de la misma. Digamos que esta tensión la soporta una "FIBRA" del material que constituye la pieza, separada del eje esa distancia x.

¿En cuál punto de la sección es máxima esta tensión? Considerando la pieza de la figura 2.3-a, la tensión es máxima en la "fibra" más alejada del eje; es decir, en la que se encuentra a una distancia x = [pic 29]. Para ella se obtiene, sustituyendo x en la expresión (4a)

[pic 30] (5)

La expresión correspondiente a la tensión de Tracción máxima, para esa misma "fibra", si se invierte la carga P, es lógico que [pic 31]

Veamos la expresión de la tensión de Tracción máxima, para una pieza cilíndrica como la indicada en la figura 2.5

[pic 32] (6)

¿Qué ocurre? en el lado contrario, es decir, en – x. La respuesta esta en el siguiente apartado.

2.4 NUCLEO CENTRAL DE UNA PIEZA.

Nos referiremos, en este caso, a una pieza "sencilla" tal como la de la figura 2.3, sometida al mismo sistema de carga.

Existen materiales cuyo comportamiento es sumamente confiable, mientras son utilizados en condiciones de trabajo que generen tensiones de compresión, pero que pueden ser "imprevisibles" al ser sometidos a tensiones de tracción o viceversa.

En el caso de Compresión Excéntrica, puede resultar útil poder establecer límites a la excentricidad e, para que, en cualquier circunstancia, se generen únicamente tensiones de compresión para cualquier carga P como la aplicada. Esto podría ser tanto más importante, puesto que una situación de compresión excéntrica puede presentarse aún sin que nosotros, como calculistas de los elementos de máquina, lo deseemos al momento del diseño; en efecto, las combinaciones de distintas tolerancias que presenten las diferentes piezas con las cuales se ha ensamblado una determinada máquina, o el desgaste de las mismas por un mantenimiento preventivo no adecuado, pudieran llegar a conformar una situación en la cual la carga se desplace del eje de la pieza, por la aparición de holguras no tolerables, introduciendo tensiones de tracción no contempladas en nuestro diseño, por no ser éstas las condiciones de trabajo a las que estaría sometido el elemento de máquina en cuestión. Esta situación provocaría la falla irremediable de la pieza, con posibles daños mayores a la máquina en la cual está montada y, mucho más grave, podría hasta poner en peligro los operadores de la misma... Trataremos de determinar entonces, hasta donde podemos asegurar que no se presenten tensiones de tracción.

Como indicado al inicio de este aparte, veamos la pieza de la figura 2.3. En este caso ¿Dónde es máxima la tensión de tracción? Al ver la figura, la respuesta parece ser: en la "fibra" ubicada en x = - b / 2; ¿Está de acuerdo el lector? Si ahora sustituimos este valor de x en la expresión (4a) del aparte 2.3, resulta

[pic 33] (1)

Para que, al límite, no existan tensiones de tracción en esa "fibra desfavorecida", debe cumplirse que la expresión (1) de este aparte, sea menor o igual que cero. En efecto, de no serlo, existirían tensiones de tracción puestas de manifiesto por un valor positivo (que no cumpliría con la condición anterior, al ser mayor que cero) de la tensión σ. Al aplicar una carga no nula P de compresión, como en la figura 2.3, la expresión (1) será efectivamente menor o igual a cero (σ ≤ 0 ) sólo cuando se cumpla

[pic 34] (2)

Así como obtuvimos este valor de e, se puede para otros planos de la pieza (el realizado corresponde al plano XY; el lector puede hacerlo para el plano ZY y, por ejemplo, para un plano a 45º de éstos; para este caso debe recordar que la inercia I de la superficie, siendo la sección un cuadrado, es la misma para los planos XY, ZY y para el plano a 45º en el cual actuaría ahora la carga P; lo que debe observar el lector es que la nueva distancia que señala la "fibra más desfavorecida" es, en ese momento, [pic 35]...). Si luego llevamos el resultado a la sección transversal, podremos visualizar lo que es el NUCLEO CENTRAL de la pieza, tal y como lo representamos en la figura 2.4; si la carga vertical