CLASE 01 INTRODUCCIÓN A LA OPTIMIZACIÓN DINAMICA

...

[pic 9]

El problema de elección intertemporal del consumo puede extenderse a un horizonte de un tiempo mayor.

El consumidor podría tener utilidad por el consumo en los siguientes períodos T, por lo tanto la función de utilidad del consumidor sería la siguiente:

[pic 10]

En esta función de utilidad, el factor de descuento posibilita que conforme el consumo sea de un periodo más lejano con respecto al presente, el individuo le asignará una menor importancia al consumo. Esto es

[pic 11]

La restricción intertemporal para T períodos será similar a la restricción (02); esta establece que la suma de consumo en cada período, expresado en valor presente, debe ser equivalente al ingreso, esto es:

[pic 12]

Finalmente el problema de optimización dinámica para un horizonte de tiempo T será el siguiente:

[pic 13]

CLASE 02

Ejemplos a considerar:

- Consideremos el cuerpo humano de una persona “x” el cuerpo humano de “x” es un sistema que evoluciona en el tiempo, es por tanto un sistema dinámico. Un día “x” decide ir al médico pues no se encuentra bien, el médico tras escuchar al paciente, lo explora para conocer su estado de salud: Le toma la temperatura, la presión sanguínea, leucocitos, colesterol etc. Es decir. El médico mide el estado del sistema en dicho momento y toma nota de él (son las variables de estado en dicho momento). Como el estado del paciente no es el adecuado, hay que tomar medidas para modificar dicho estado: El médico, le dice al paciente que debe poner en práctica las siguientes medidas: Dormir 8 horas diarias, hacer ejercicios físicos 3 días por semana, dejar de fumar, no tomar más de un café al día, tomarse las medicinas que le receta, y seguir la dieta mediterránea (Son las variables de control). Cuando el paciente ponga en práctica las medidas propuestas por el médico, su estado de salud variará, de manera que cuando vuelva al médico un mes más tarde a pasar la revisión, el valor que tomara la variable de estado, será diferente. Los nuevos valores de la variable de estado dependerán de los valores que tenía en el mes anterior y de las medidas que se ha puesto en práctica (la variable de control).

- Una persona viaja en su coche de una ciudad A hasta otra ciudad B, el coche se va moviendo por lo que se trata de su sistema dinámico. En un momento dado, el estado de S: viene dado por el lugar que se encuentra el vehículo y por la velocidad que lleva en ese momento. En cada instante, el conductor tiene a su disposición los controles: Volante, freno y acelerador, que están sujetos a ciertas restricciones. El estado del sistema depende del estado del S. en algún momento anterior y de los controles que haya introducido en ambos. La trayectoria que siga el vehículo dependerá del punto de partida y de los controles que el conductor vaya introduciendo en el S. en cada instante, los cuales a su vez dependerán de los objetivos del conductor: Puede ser minimizar el tiempo, o minimizar el costo o minimizar la cantidad de combustible.

- La economía de un determinado país es un S. que evoluciona en el tiempo, por lo que es un sistema dinámico. En un determinado momento, el estado de dicha economía se recoge en un cuadro macroeconómico, donde aparecen los valores que toman las siguientes variables: Consumo privado, consumo público, formación bruta de capital fijo, variación de existencias, demanda interna, exportaciones, importaciones, PBI, tasa de pago e inflación (Son las variables de estado). La autoridad económica decide tomar en práctica una serie de medidas de política monetaria y de política fiscal (son las variables de control), que van a afectar el comportamiento de los agentes económicos y que llevaran a nuevos valores de la variable de estado, cuando estas se presentan en otro momento posterior. Los valores del cuadro macroeconómico al final del año dependerán de los valores del mismo a principios de año y de La medidas de política económica tomada durante el año, y en este caso también de la respuesta de los agentes a dichas medidas. Las medidas de política económica dependen de los objetivos que tenga el gobierno en el momento en que se toman.

- Ejemplo 1. Un consumidor tiene una función de utilidad U[C(t)], en donde C(t) es el consumo en el instante t € [0, T], se supone que U´(c(t))>0 y que U´´(c(t)) 0, los ingresos de la persona vienen dados por i*K, obtenidos a partir del stock de capital, en donde i es el tipo de interés de mercado. Además la persona puede consumir el stock de capital en cualquier instante, vendiendo capital (normalizamos su precio a la unidad). Supongamos también que el consumidor es impaciente, siendo δ su tasa de descuento. También se tiene que cumplir que K(t) ≥ 0. El problema consiste en:

[pic 14]

Sujeto a K´(t)=i K(t) –C(t)

Con: K(0)=K0 , K(t) ≥ 0

En la ecuación diferencial se puede despejar C(t), por lo que el problema se puede expresar como

[pic 15]

Con: K(0)=K0 , K(t) ≥ 0

Se trata de un problema de cálculo de variaciones.

- Ejemplo 2. (problema de asignación regional de inversión, Takayama 1967 y 1985). Se considera una economía nacional en la que existen dos regiones (1 y 2). Sea:

[pic 16] , en donde, para cada t: Y(t) es el producto nacional, Yi (i = 1, 2) es el output de cada región. Se supone que el producto bruto está en función del capital output, por lo que [pic 17]

Donde Ki es el stock de capital de la región i. El objetivo de la autoridad responsable de la planificación es maximizar el producto nacional en el instante final T del horizonte temporal:

[pic 18]

Los fondos de inversión Z para el conjunto de las dos regiones consisten en los ahorros acumulados en el conjunto de la economía, por lo que:

[pic 19]

[pic 20]es la propensión al ahorro en la región i, se tiene que

[pic 21]

En donde [pic 22] sea φ (t) la proporción de fondos de