CRECIMIENTO EN S: EPIDEMIAS, DIFUSIÓN DE LA INNOVACIÓN Y EL CRECIMIENTO DE NUEVOS PRODUCTOS

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9.1.3 Otros modelos comunes de crecimiento

Debido a su simplicidad y capacidad de análisis, el modelo logístico es el más

Usado modelo de crecimiento en forma de S. Sin embargo, hay muchos otros modelos de crecimiento en forma de S. Estos modelos relajan el supuesto restrictivo de que la tasa de crecimiento fraccional disminuye linealmente en la población. Estas curvas de crecimiento no son en general simétricas.

La curva de Richards es un modelo de uso común (Richards 1959). En el modelo de Richards, la tasa de crecimiento fraccional de la población no es lineal en la población:

Tasa de natalidad neta = [pic 10]

La tasa de crecimiento fraccional para ser no lineal en la población (trate de esbozar la tasa de crecimiento fraccional en función de la población para diferentes valores de m). La solución del modelo de Richards es

[pic 11]

Donde k es un parámetro que depende de la población inicial relativa a la capacidad de carga.

Un caso especial del modelo de Richards es la curva de Gompertz, dada por

Richards en el límite cuando m = 1. Obsérvese que mientras la ecuación (9-12) no está definida cuando m = 1,

[pic 12]

Por lo que la curva de Gompertz está dada por

[pic 13]

En el modelo de Gompertz, la tasa de crecimiento fraccional disminuye linealmente en el logaritmo de la población, y la tasa de crecimiento máximo se produce a P / C = 0,368.

Otro modelo de crecimiento comúnmente utilizado se basa en la distribución de Weibull:

[pic 14]

Donde a, b> 0 son conocidos como los parámetros de forma y escala, respectivamente. El caso a = 2 se conoce como distribución de Rayleigh.

Los modelos de Richards y Weibull proporcionan al modelador funciones de crecimiento analíticamente manejables que pueden representar una variedad de tasas de incremento neto fraccionario no lineal. Sin embargo, no hay garantía de que los datos se ajusten a los supuestos de cualquiera de los modelos de crecimiento analítico. Afortunadamente, con la simulación por computadora, no está restringido a usar el modelo logístico, Gompertz, Richards, Weibull o cualquier otro modelo analítico. Puede especificar cualquier relación no lineal para las tasas fraccionales de natalidad y muerte soportadas por los datos y luego simular el modelo para explorar su comportamiento en el tiempo.

9.1.4 Prueba del modelo logístico

Para ilustrar el uso del modelo logístico, consideremos los ejemplos de

En la Figura 4-9. La figura 9-2 muestra el resultado de ajustar el modelo logístico a los datos para el crecimiento de los girasoles. El modelo logístico de mejor ajuste coincide con los datos del girasol razonablemente bien, aunque subestima el crecimiento en el primer mes y lo sobreestima más tarde. Estas diferencias sugieren que se podría lograr un mejor ajuste mediante el uso de un modelo de crecimiento diferente, como el modelo de Richards, en el que la tasa de crecimiento fraccional no es lineal en la población. La Sección 9.3.1 proporciona ejemplos adicionales.

9.2 DINÁMICA DE LA ENFERMEDAD: MODELACIÓN DE EPIDEMIAS

Las epidemias de enfermedades infecciosas suelen presentar crecimiento en forma de S. El número acumulado de casos sigue una curva en forma de S, mientras que la tasa a la que nuevos casos ocurren exponencialmente, alcanza picos y luego cae a medida que la epidemia termina. La Figura 9-3 muestra el curso de una epidemia de influenza en un internado inglés en 1978. La epidemia comenzó con un solo estudiante infectado (paciente cero). La gripe se propaga a través del contacto y por inhalación de aerosoles cargados de virus liberados cuando los individuos infectados tose y estornuda. La gripe se propagó lentamente al principio, pero a medida que más y más estudiantes cayeron enfermos y se convirtieron en infecciosos, el número infectado creció exponencialmente.

Debido a los cuartos cercanos ya la alta tasa de exposición, cerca de dos tercios de la población eventualmente se enfermó y la epidemia terminó debido al agotamiento de la reserva de personas susceptibles. La Figura 9-3 también muestra el curso de una epidemia de peste en Bombay en 1905-6. El comportamiento es bastante similar, a pesar de las diferencias en el tiempo, la mortalidad y otros aspectos de la situación. El patógeno no tiene que ser un agente biológico - las epidemias de virus informáticos sigue similares dinámicas.

9.2.1 Un modelo simple de enfermedad infecciosa

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La figura 9-4 muestra un modelo simple de enfermedad infecciosa. La población total de la comunidad o región representada en el modelo se divide en dos categorías: las susceptibles a la enfermedad, S, y las que son infecciosas, I (por esta razón el modelo se conoce como el modelo SI). A medida que las personas se infectan, pasan de la categoría susceptible a la categoría infecciosa. El modelo SI invoca una serie de supuestos simplificadores; La sección 9.2.2 desarrolla un modelo más realista. Primero, se ignoran los nacimientos, las muertes y la migración. En segundo lugar, una vez que las personas están infectadas, permanecen infectadas indefinidamente, es decir, el modelo se aplica a las infecciones crónicas, no a las enfermedades agudas como la gripe o la peste.

[pic 19][pic 20]

[pic 21][pic 22][pic 23]

El modelo SI contiene dos bucles, el bucle positivo de contagio y el bucle negativo de agotamiento. Las enfermedades infecciosas se propagan a medida que los contagiosos entran en contacto y transmiten la enfermedad a los que son susceptibles, aumentando aún más la población infectada (el bucle positivo) y al mismo tiempo agotando el grupo de susceptibles (el bucle negativo).

La población infectada I se incrementa por la tasa de infección IR mientras disminuye la población susceptible S:

I = INTEGRAL (IR, Io) (9-16)

S = INTEGRAL (- IR, N - Io,) (9 - 17)

Donde N es la población total en la comunidad