DISTRIBUCIONES CONTINUAS. Función de Probabilidad

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Una distribución normal de media μ y desviación típica σ se designa por N(μ, σ). Su gráfica es la campana de Gauss:

Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha.

Función de probabilidad: [pic 13]

Función de densidad: [pic 14]

[pic 15]

Nota:

Si X ∼ N(μ,σ) , entonces:

a) P(μ-σ

b) P(μ-2σ

c) P(μ-3σ

Ejemplo1: El nivel de colesterol de los enfermos de un hospital sigue una distribución normal con una media de 179,1mg/dL y una desviación estándar de 28,2mg/dL. Entonces: ¿Calcule el porcentaje de enfermos con un nivel de colesterol de 235,5 mg/dL?¿Calcule el porcentaje de enfermos con un nivel de colesterol entre [122,7 – 235,5] mg/dL?.

Ejemplo2: Luego de un gran número de determinaciones se ha comprobado que la temperatura (°C) de desconexión de ciertos termostatos responde a una distribución N(80,2). Entonces: ¿Calcular la proporción que corta a los 81°C?¿Cual es la probabilidad de que ocurra entre los [74 – 86] grados centígrados?¿La probabilidad de que ocurra a una T° mayor que los 84°C?

DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR N(0,1):

Nota: Se puede transformar un conjunto de observaciones de cualquier variable aleatoria normal X a un nuevo conjunto de observaciones de una variable aleatoria normal Z con μ= 0 y σ = 1.

Esto se puede realizar por medio de la transformación y uso de tabla.[pic 16]

[pic 17]

Ejercicio 1: Si el peso (kg) de un grupo de personas es una variable aleatoria que tiene una distribución normal N(50,3). Entonces:

a) Cual es la probabilidad de que al seleccionar una persona tenga un peso mayor de 55kg.

b) Como calcularía la probabilidad de que al elegir una persona tenga aproximadamente 50 años.

Ejercicio 2: Se sabe que la longitud de las alas extendidas de un tipo de ave rapaz es una variable aleatoria que sigue una distribución Normal, de media 120 cm. y desviación típica 8 cm.

1. Calcúlese la probabilidad de que la longitud de un ave elegida al azar sea:

a) Mayor de 130 cm

b) Menor de 100 cm

c) Esté comprendido entre 110 y 130 cm

2. Obtener la longitud tal que solo el 10 % de las aves tienen una longitud superior.

R:0,1056; 0,00621; 0,7888; 130,24

Ejercicio 3: El plomo, como muchos otros elementos, está presente en el medio natural. La revolución industrial y la llegada del automóvil han incrementado la cantidad de plomo en el medio hasta el punto de que su concentración puede alcanzar niveles peligrosos. Sea X: “concentración de plomo en partes por millón en la corriente sanguínea de un individuo”. Supongamos que X es una variable normal con media 0.25 y desviación típica 0.11. Una concentración superior o igual a 0.6 partes por millón se considera extremadamente alta. ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo seleccionado aleatoriamente esté incluido en esta categoría?

Ejercicio 4: Se supone que el nivel de colesterol de los enfermos de un hospital sigue una distribución normal con una media de 179,1mg/dL y una desviación estándar de 28,2mg/dL.

a) Calcule el porcentaje de enfermos con un nivel de colesterol inferior a 169 mg/dL.

b) ¿Cuál será el valor del nivel de colesterol a partir del cual se encuentra el 10% de los enfermos del hospital con los niveles más altos? R: 36%;215,24

Ejercicio 5: Luego de un gran número de determinaciones se ha comprobado que la temperatura de desconexión de ciertos termostatos responde a una distribución normal con m = 80 ºC y s = 2 ºC.

a) Calcular la proporción que corta entre 80 y 82 ºC.

b) Si la especificación es 81 ± 3 ºC, ¿Cuál es la proporción de termostatos defectuosos?

R:0,3413; 0,1815