Distribuciones continúas de probabilidad.

...

[pic 6][pic 7]

b)

[pic 8]

c)

[pic 9]

d)

[pic 10]

Ejemplo:

La función de densidad de probabilidad de peso neto en libras de un paquete de herbicida químico es igual a f(x)=2 para 49.75

- calcule la probabilidad de que un paquete pese más de 50 libras.

- Cuanto herbicida estará contenido en el 90% de los paquetes.

a) p(x>50)

[pic 11]

b)

[pic 12]

Ejercicio 2

Supóngase que f(x)=e-x para 0

a) p (1

[pic 13]

b)

[pic 14]

c)

[pic 15]

d)

[pic 16]

e)

[pic 17]

Ejercicio 3

Suponga que f(x)[pic 18] para 4

- p(1

- [pic 19]no aplicable

- p(4

-

[pic 20]

e)

[pic 21]

Ejercicio 4

Una calculadora genera números al azar en el intervalo [0,1], con igual probabilidad para cada número del intervalo. Una variable así definida es continua, y además se reparte uniformemente la probabilidad en el intervalo [0,1]. La función de densidad es :[pic 22]

[pic 23]

Esta función así definida cumple las dos condiciones:

[pic 24]

[pic 25]

Ejercicio 5

Sea la variable aleatoria continua X la corriente media en mili amperes, en un conductor Delgado de cobre. Supóngase que el rango de X (0, 20 mA) y que la función de densidad de probabilidad de [pic 26]

Pregunta: ¿cuál es la probabilidad de que una medición de corriente sea menor que 10 mili amperes?

[pic 27]

4.3- Valor Esperado, Varianza y Desviación Estándar.

Valor Esperado

El valor esperado o esperanza de una variable aleatoria tiene su origen en los juegos de azar, debido a que los jugadores deseaban saber cuál era su esperanza de ganar o perder con un juego determinado. Como a cada resultado particular del juego le corresponde una probabilidad determinada, esto equivale a una función de probabilidad de una variable aleatoria y el conjunto de todos los resultados posibles del juego estará representado por la distribución de probabilidad de la variable aleatoria. Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidades f(x). Entonces, el valor esperado de la variable aleatoria X, el cual se representa por E(X), está definido por:

E(X) = å xi f (xi)

Lo anterior significa, que para calcular E(X) se multiplica cada valor que puede tomar la variable aleatoria por la probabilidad que le corresponde y después se suman esos productos.

El valor esperado representa el valor promedio que se espera suceda, al repetir el experimento en forma independiente una gran cantidad de veces. El valor esperado se interpreta físicamente como el centro de masa o centro de gravedad de la distribución de probabilidad, por lo que es igual a la media o promedio aritmético, los cuales se representan con la letra µ.

Variancia.

Existen dos aspectos que caracterizan de forma simple el comportamiento de la distribución de probabilidad, porque proporcionan una descripción completa de la forma en que se comporta: la medida de tendencia central y la de dispersión.

La primera está representada por la media o valor esperado, ya vista en el punto anterior, y la segunda por la variancia o por la desviación estándar, que evalúan la dispersión de la distribución de probabilidad o grado en que se separan del promedio los valores de la variable aleatoria X.

Las desviaciones (X - m) toman valores: (x1 - m), (x2 - m), (x3 - m), (xi -m), con probabilidades respectivas: f(x1), f(x2), f(x3),. . ., f (xi). Sin embargo, al tomar el valor esperado de estas desviaciones nos encontramos con que:

E(X - m) = å (xi - m) f (xi) = å xi f (xi) - m å f (xi) = å xi f (xi) - m = m - m = 0

Esto se debe a que las desviaciones positivas se compensan con las desviaciones negativas. Para determinar una medida de dispersión, necesitamos considerar únicamente la magnitud de las desviaciones sin sus signos.

Una manera de eliminar el signo de las desviaciones, es considerar el cuadrado de las mismas, es decir, (xi - m)2.

Si obtenemos el valor esperado de las desviaciones elevadas al cuadrado, obtenemos una medida de la dispersión de la distribución de probabilidad, la cual es conocida como Variancia y se simboliza por s2 ó Var (X) ó V(X).

La variancia de una variable aleatoria X se define como

s2 = V(X) = Var (X) = E (X - m)2 = å (xi - m)2 f (xi)

A partir de ésta ecuación y mediante un pequeño desarrollo matemático, se obtiene la siguiente expresión:

s2 = V(X) = å xi2 f (xi) - m2

Si representamos a å xi2 f (xi) por E(X2), podemos escribir:

s2 = V(X) = Var (X) = E(X2) - [E(X)]2 = E(X2) - m2

Al