Diseño de Actividad Didáctica Matemática con Matrices

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[pic 13][pic 14][pic 15]

F = 200 300 Ft = 200 100 [pic 16]

100 200 300 200[pic 17]

Otro tipo de matriz se obtiene cuando, teniendo una planteada, sea el caso de F, sus elementos cambian de signo, resultando la matriz opuesta o bien sea el caso de dos matrices iguales pero con signos diferentes:

[pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]

F = 200 300 -F = -200 -300

100 200 -100 -200[pic 22]

Suponiendo que la producción de azúcar durante los tres turnos de otro día (G) fue:

[pic 23][pic 24]

200 300 250 En la organización de los elementos se observa una [pic 25]

G = 300 500 150 simetría con respecto a la diagonal principal, característica

250 150 600 que le vale el nombre de matriz simétrica.

Profesor: hasta aquí hemos visto varios tipos de matrices aplicables al ejemplo en cuestión. Existen otros tipos de matrices, como por ejemplo: la matriz diagonal superior e inferior y la matriz inversa, las que serán objetos de estudio más adelante.

El gerente de la compañía azucarera, le pide al jefe de operaciones, la producción acumulada de tres días. A nuestro efecto podemos usar las siguientes producciones diarias:

[pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31]

200 300 500 200 300 250 120 140 200

P = 100 200 500 G = 300 500 150 y V = 160 150 200

200 200 300 250 150 400 0 100 120

Para calcular el acumulado de estos tres días procedemos a la suma de sus elementos, obteniendo así una suma de matrices: P + G + V:

[pic 32][pic 33][pic 34][pic 35]

200+200+120 300+300+140 500+250+200 520 740 950

P+G+V = 100+300+160 200+500+150 500+150+200 →P + G= 560 850 850

200+250+0 200+150+100 300+400+120 450 450 820

Profesor: Veamos ahora unas propiedades interesantes que se cumplen en la adición o suma de matrices (escribe en la pizarra): “Propiedades de la adición de matrices” ):

Las matrices cumplen con las siguientes propiedades de la adición, visto y comprobable según el caso anterior:

- Propiedad Asociativa: Una suma de matrices es asociativa si se cumple que:

P + (G + V) = (P + G) + V; Siendo P, G y V matrices respectivamente o las producciones totales de azucares por día.

- Si en la suma resulta una matriz Neutra: P – P = 0, entonces la matriz resultante es nula. Ello es operable si se quiere obtener la diferencia de producción total de azúcar de dos días si fuere el caso.

- La suma de matrices es conmutativa si se cumple que: P + V = V + P

- Hay existencia de elementos simétricos en una matriz si el opuesto de ella es negativa: A -A[pic 36]

Profesor: Otra de las propiedades de interés aplicable a las matrices son las “Propiedades de multiplicación de las matrices”. Es importante tener en cuenta que para multiplicar matrices es necesario que una de las matrices tenga el mismo número de columnas que el número de filas de la otra.

Tomemos el ejemplo de las matrices rectangulares D y T (visto anteriormente): donde se eligen dos tipos de azúcar (AR y AM) durante los tres turnos (D) o la producción general (T) de dos turnos respectivos (A y B):

[pic 37][pic 38][pic 39][pic 40]

200 500 200 300 400

D = 100 500 T = 100 200 500

- 600

Cuando operamos la multiplicación de ambas matrices se tiene:

[pic 41][pic 42]

(200x200)+(100x300)+(200x400) (500x200)+(500x300)+(600x400)

D x T =

(200x100)+(100x200)+(200x500) (500x100)+(500x200)+(600x500)

[pic 43][pic 44]

150000 490000

D x T =

140000 450000

Profesor: hasta ahora si no se tienen dudas al respecto, entonces continuaremos.

Cuando se lleva a cabo la multiplicación de matrices, se cumplen las siguientes propiedades:

- La Propiedad Asociativa: ocurre cuando se cumple la siguiente proposición:

W (D.T) =(W.D) T, donde W, D y T son matrices cada una de ellas.

- Propiedad Distributiva: ocurre cuando se cumple la siguiente proposición:

W (D + T) = W.D + W.T ó (W + D) T = W.C + D.T

- Existencia de Elemento Neutro: ocurre cuando se cumple la siguiente proposición:

P.In = In.P = P ; si P es una matriz cuadrada de orden “n” y I es una matriz identidad.

Profesor: tienen como asignación para el hogar, verificar que se cumplen las propiedades de suma con las matrices del ejemplo dado en clase de la industria azucarera:

P + (G + V) = (P + G) + V

P + V = V + P