Documento de docencia: Teoría de carteras de inversión

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En cuanto al retorno de cada activo del portafolio, naturalmente éste dependerá de lo que suceda al momento de hacer la medición y en particular del estado de la naturaleza que suceda, que es lo singular de los activos riesgosos y que no puede ser controlado por los inversionistas.

La única variable controlable por el inversionista, es la proporción de la riqueza que se invierte en cada activo y que influye directamente en la rentabilidad de la cartera, ya que ésta nace como una media de los retornos individuales de los activos ponderados por las proporciones de inversión. Esto sumado a que los inversionistas estudiados en este modelo son adversos al riesgo, obliga a fijar las ponderaciones en aquellas alternativas de mayor retorno esperado dado un cierto nivel de riesgo.

Riesgo del portafolio

Para medir el riesgo de la cartera, Markowitz utiliza la varianza o la desviación estándar que son indicadores que muestran el grado de dispersión promedio de las observaciones de una muestra en relación a la media. En general, en la medida que el valor numérico es mayor, indicará una mayor inestabilidad del retorno y por consecuencia su riesgo será mayor.

A continuación se presenta la forma de estimar la varianza del retorno del portafolio:

[pic 13]

Donde:

a: representa la proporción de inversión en el activo X.

(1 – a): representa la proporción de inversión en el activo Y.

[pic 14] representa la varianza del retorno del activo X: [pic 15]

[pic 16] representa la varianza del retorno del activo Y: [pic 17]

Cov(x,y):representa la covarianza entre los activos X e Y:

[pic 18] o bien [pic 19]

[pic 20] es el coeficiente de correlación entre los activos X e Y.

Como se puede apreciar, el riesgo del portafolio depende de tres elementos:

- El riesgo de los activos individuales representados por la varianza de cada activo.

- Las proporciones de inversión en cada activo.

- La dirección que toman las variables frente a idéntico estímulo representada por la covarianza.

En el primer caso, se debe recordar que la varianza del retorno de un activo mide el grado de dispersión de los distintos retornos estado contingentes en relación a su retorno esperado, de tal forma que al ser mayor, significa que el rango en el cual se moverá el resultado al final será mayor y por consecuencia el riesgo será mayor.

En el caso de las proporciones de inversión, se debe considerar que la mezcla elegida claramente puede aumentar o disminuir el riesgo de la cartera y tal como se verá más adelante, al estudiar la función de riesgo, se puede demostrar que existe una mezcla que inclusive minimiza el riesgo del portafolio.

Por último, la covarianza también determinará el nivel de riesgo del portafolio ya que ésta permite establecer si los activos elegidos se mueven en idéntica o distinta dirección dado un cierto estímulo común para todos. Así, más adelante se verá que al considerar en un portafolio dos o más activos cuya covarianza sea menor que cero, dada la mezcla de inversión elegida, el riesgo de la cartera será menor. Intuitivamente, si frente al mismo estímulo, el precio de cada activo en estudio se mueve en distinta dirección, entonces, significa que al invertir en estos activos, se cubren dos estados de naturaleza diferentes y por consecuencia, su covarianza será menor que cero. Por el contrario, si frente a idéntico estímulo, los precios de los activos se mueven en idéntica dirección, significará que la dinámica de la economía les afecta de la misma manera y por consecuencia estaremos tomando una mayor cantidad de riesgo con dichos activos, ya que así, varios activos en la cartera son equivalente a tener uno sólo. Un ejemplo de lo anterior lo tenemos al elegir papeles que representan a empresas de una misma industria como Paris, Falabella y Ripley. El precio de mercado de estos tres frente a idéntico estímulo se moverá en la misma dirección lo cual, desde el punto de vista del riesgo puede ser equivalente a invertir sólo en uno de ellos.

Función de riesgo (desviación estándar)

Si graficamos la función desviación estándar haciendo variar la proporción de inversión en el activo X “a”, obtendremos aproximadamente lo siguiente:

[pic 21]

[pic 22]

Como se puede apreciar en la figura anterior, cuando la proporción de inversión en el activo X es igual a [pic 23], el riesgo de la cartera llega a un nivel mínimo, lo que sugiere que la mezcla de inversión utilizada, si influye en el nivel de riesgo que el inversionista asuma y no sólo depende de la naturaleza de los activos que incorpora al portafolio.

Para determinar las proporciones de inversión que llevan al mínimo riesgo posible en una cartera de dos activos, se debe minimizar la función desviación estándar de la siguiente forma:

[pic 24]

[pic 25]

Si igualamos a cero la primera derivada y despejamos “a”, tendremos:

[pic 26]

La expresión anterior representa la proporción de la riqueza que se debe invertir en el activo X para minimizar el riesgo del portafolio.

En definitiva, lo que hemos encontrado es que si se pretende minimizar el riesgo de una cartera compuesta por los activos riesgosos X e Y, se debe invertir [pic 27]% de la riqueza en el activo X y

( 1- [pic 28])% de la riqueza en el activo Y.

Conjunto de oportunidades de inversión

[pic 29]

figura anterior denominada el conjunto de oportunidades de inversión, es el lugar geométrico compuesto por infinitas combinaciones de riesgo y rentabilidad esperada que ofrece el mercado de capitales. Cada punto de la figura está compuesto por un cierto nivel de rentabilidad esperada de portafolio y por un nivel de riesgo (desviación estándar