EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL.

...

Y el último vértice que nos falta se obtiene resolviendo el sistema:

X+y=150

X=125

Cuya solución es: X=125, Y=25 B(125, 25)

Los vértices de la región son O(0,0), A(125,0), B(125,25) y C(100,50) y D(0,100),

Si dibujamos el vector de dirección de la función objetivo f(x, y)=250x+ 400y

Haciendo 250x+ 400y =0, y=-(250/400)x=-125x/200

x

Y

0

0

200

-125

[pic 15]

Se ve gráficamente que la solución es el punto (100, 50), ya que es el vértice mas alejado (el último que nos encontramos al desplazar la rectas 250x+400y=0 )

Lo comprobamos con el método analítico, es decir usando el teorema que dice que si existe solución única debe hallarse en uno de los vértices

La unción objetivo era: f(x, y)=250x+400y, sustituyendo en los vértices obtenemos

f(125,0)=31.250

f(125,25)=31.250+10.000=41.250

f(100,50)=25.000+20.000=45.000

f(0,100)=40.000

El máximo beneficio es 45.000 y se obtiene en el punto (100, 50)

Conclusión: se tienen que vender 100 tartas vienesas y 50 tartas reales.

3. Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autocares de 40 plazas y 10 autocares de 50 plazas, pero solo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 80 euros y el de uno pequeño, 60 euros. Calcular cuantos de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo mas económica posible para la escuela.

Solución

Es un problema de programación lineal, en este caso lo que queremos es hacer mínima la función objetivo.

Llamamos x al nº de autocares de 40 plazas e y al nº de autocares de 50 plazas que alquila la escuela.

Entonces se tiene x[pic 16] , y[pic 17]

Como sólo hay 9 conductores se verifica que: x +y[pic 18]

Como tienen que caber 400 alumnos se debe de verificar:

40x +50y [pic 19], que simplificada quedaría 4 x +5y [pic 20]

Por lo tanto las restricciones que nos van a permitir calcular la región factible (conjunto de puntos solución donde se cumplen todas las condiciones) son

[pic 21]

La función objetivo es F(x, y)= 60x+ 80y

Dibujamos las rectas auxiliares,

r1 r2 r3 r4

x

y

x

y

x

y

x

y

8

0

0

10

0

9

0

8

0

9

10

0

Así como la de que corresponde a F(x, y)=0 que se dibuja en rojo.

Teniendo en cuenta las restricciones ( la de R4 es la parte de arriba y que la R3 es la parte de abajo), se encuentra la región factible. En el dibujo es la parte amarilla.

[pic 22]

Los vértices son (0, 8), (0, 9) y el (5, 4), este último es el punto de intersección de las rectas r3 y r4

[pic 23]por reducción [pic 24][pic 25]

restando ambas ecuaciones se tiene x =5 y sustituyendo en la 1ª ecuación, y =4

Resolviendo gráficamente se llega a que el punto (5, 4) es la solución del problema. La solución óptima .

Comprobarlo sustituyendo en F(x, y) todos los vértices y que este es el que da menor valor (método analítico).

4. Una compañía posee dos minas: la mina A produce cada día 1 tonelada de hierro de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada día 2 toneladas de cada una de las tres calidades. La compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el coste diario de la operación es de 2000 euros en cada mina ¿cuántos días debe trabajar cada mina para que el coste sea mínimo?.

Solución

Organizamos los datos en una tabla:

días

Alta calidad

Calidad media

Baja calidad

Coste diario

Mina A

x

1x

3x

5x

2000x

Mina B

y

2y

2y

2y