Ecuaciones de las flores.

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Pero ¿Como puede ser única e irrepetible? Debido a que una ecuación solo se satisface con valores exactos y en el caso del análisis geométrico con puntos de coordenadas específicas. Al conjunto de estos puntos se los llama lugar geométrico o gráfica de una ecuación. Así, cada ecuación define a una gráfica partiendo de las propiedades que la definen y cada gráfica posee una ecuación que describe sus características al reconocer cada uno de los puntos que la conforman.

1.1 Coordenadas cartesianas

Analizaremos primero las figuras más sencillas de geometría plana (rectas y cónicas) junto con sus respectivas ecuaciones en referencia a un sistema de coordenadas rectangulares, para empezar a relacionar la ecuación de una figura y su gráfica y para evidenciar como la ecuación de una figura, parte de las características que la definen. Así se podrá entender al análisis geométrico como una de las formas expresión del lenguaje matemático, su simbología y su abstracción.

La recta

La línea recta, se define como el lugar geométrico en el que si se toman dos puntos arbitrarios A (x1, y1) y B (x2, y2) , en cualquier lugar, su pendiente m será la misma.

[pic 3]

Ahora bien, si tomamos los puntos P (x, y) y Q (x1, y1) por la definición de la recta y la fórmula de pendiente se obtiene:

[pic 4]

Así se define la ecuación de la recta que pasa por el punto (x1, y1) y tiene pendiente m, ecuación fundamental de la recta, a partir de la que derivan algunas más como , donde b es el punto en el origen del eje de las ordenadas que pasa por la recta. [pic 5]

Una vez definido este concepto, se procede a la ejemplificación, para poder comprender como varía la gráfica a partir de su ecuación y viceversa. (Ver anexo 1 y 2)

Al analizar la primera imagen se observa cómo cambia la gráfica de forma radical, a pesar de que en la ecuación solo haya variado en un pequeño número. En cambio, la imagen posterior muestra cómo las rectas parecieran iguales a pesar de que su ecuación sea sumamente diferente. Estas gráficas son un ejemplo de cómo las ecuaciones describen las características de los lugares geométricos, más allá de lo que nuestros ojos pueden ver.

Las cónicas

- Circunferencia

La circunferencia se define como el lugar geométrico comprendido por todos los puntos que se encuentran a una distancia r (radio) de un punto C (h, k) (centro). Si la circunferencia pasa por el punto P(x, y) de acuerdo con su definición y la ecuación de la distancia entre dos puntos[1], podemos obtener la siguiente ecuación

[pic 6]

Siendo esta la ecuación canónica[2] de la circunferencia de radio r y centro en C (h, k). A partir de estas premisas, definamos algunos ejemplos de circunferencias (Ver anexo 3)

A partir de las ecuaciones mostradas en la imagen, tenemos la certeza de que las circunferencias C y D, al igual que E y F son concéntricas con los puntos B (5, -1) y A(10, 4) como centros, respectivamente. Esta relación se observa sin necesidad de utilizar la gráfica, debido a que los elementos de la circunferencia que se encuentran intrínsecos en su ecuación canónica.

- Parábola

Una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia a una recta fija, situada en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo en el plano y que no pertenece a la recta. El punto fijo se llama foco y la recta fija directriz de la parábola (Lehman, 2001, p. 149)

La definición propuesta por Lehmann nos puede parecer intrincada, razón por la cual seguramente ha espantado a cientos de alumnos desde que su primera edición salió a la luz, pero con un ejemplo claro y con conocimientos básicos de aritmética no solo se apreciará una parábola y su significado, sino que se entenderá su ecuación canónica y la demostración de la misma en cada uno de los casos que se presenten (Ver anexo 4).

A partir de esta imagen, analizaremos la ecuación de la parábola en la forma más sencilla que puede presentarse cuando el vértice de la misma se encuentre en el origen de las coordenadas y su eje sea igual a uno de los ejes coordenados, en este caso el eje de las abscisas. Definamos primero los elementos implicados en el gráfico:

- Punto F: Foco de la parábola con coordenadas (0,p)

- Punto O: El origen (0,0) actuando como vértice de la parábola

- Recta l: Directriz de la parábola, de ecuación y= -p

- Distancia focal: Distancia entre el vértice y el foco.

- Segmento LR: lado recto de la parábola[3]

- Eje Y: Actuando como eje de la parábola, es decir pasando por F y siendo perpendicular a la recta l.

Ahora bien, la definición de parábola nos explica que se trata del conjunto de puntos que se encuentran a la misma distancia de un punto llamado foco y una línea llamada directriz, sin tomar en cuenta el caso en que el foco este inmerso en la directriz. Analizando el gráfico se infiere lo siguiente:

[pic 7]

Reemplazando por la fórmula de la distancia entre dos puntos tenemos:

[pic 8]

Definiendo de esta forma la ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y eje coincidente al eje Y

Una de las características más importantes e interesantes de la parábola es que a partir de cada ecuación se definen dos casos diferentes e incluso opuestos, dependiendo de su dominio o rango.

Para determinar esta característica nos basamos en el valor de p que define el rango de nuestro ejemplo de parábola. Despejando la x de la ecuación de la parábola que acabamos de mencionar, tenemos: . A partir de o cual se deduce que para poder obtener un resultado real en x, los valores de p y de y deben tener el mismo signo. Es decir que si y si [pic 9][pic 10][pic 11]

Por lo tanto, si los valores de p son positivos, el rango de la función parábola es , definiendo una parábola que se abre infinitamente hacia arriba. [pic 12]

Si los valores de p son