El Teorema fundamental del calculo.

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Dibujé el reflejo de la región que representa el corte del sólido, después dibujé un pequeño trozo del sólido que llame dx porque es una longitud pequeña que se mide en la direccion del eje x. Al lado puse la forma del disco correspondiente al corte. El volumen del disco es dv, es decir, la diferencial del volumen de todo el sólido, el cual corresponde geométricamente a un cilindro del que necesitamos saber su altura o espesor, que por lo tanto sera dx, y su radio, que es una distancia “y” que esta controlada por la curva . Ahora que ya tenemos los datos ya podremos sacar el volumen.[pic 97]

Ahora vamos a obtener una expresión para dv, que como ya dije es el volumen del cilindro que se saca con la fórmula: . Sustituimos los elementos ya obtenidos y resolvemos.[pic 98]

. [pic 99]

Integramos, colocando los límites de integración para la variable x, es decir, cada corte del sólido el primero se encuentra en 0 y el último en 4. Sacamos la constante.[pic 100]

Resolvemos esa integral y aplicamos el teorema fundamental del cálculo, ya antes visto. Finalmente sólo resolvemos y ponemos las unidades del volumen.[pic 101][pic 102][pic 103]

[pic 104][pic 105][pic 106]

- Método de la arandela: Este método consiste en hallar el volumen de un sólido generado al girar una región que se encuentra entre dos curvas como se muestra en la siguiente figura:

[pic 107]

Ejemplo:

- Hallar el volumen del sólido que resulta de girar, alrededor del eje y, la región limitada por las funciones y [pic 108][pic 109]

Se puede observar que la función “f” su gráfica va a ser recta y la funcion “g” va a ser parabola. Como primera medida vamos a encontrar los puntos de corte de los dos funciones. Hay que igualar las dos funciones. Despues vamos a obtener una ecuacion de segundo grado y la resolvemos igualando a 0, factorizamos utilizando factor común. Aplicamos el teorema del factor nulo, el cual nos dice que hay que igualar los dos terminos a 0, obteniendo dos soluciones de la ecuacion. Estos dos resultados nos indican que son los puntos de interseccion.

[pic 110][pic 111]

[pic 112][pic 113]

[pic 114]

[pic 115]

Ahora podemos hacer una tabla de valores para cada una.en las tablas se observa los puntos de corte de los dos funciones y graficamos esos puntos en el plano cartesiano. Unimos los puntos de cada una y se podrá notar que se crea un region, la cual es la que va a rotar alrededor del eje y. Dibujamos el reflejo igual que en el anterior. La region sera la parte solida y lo sobrante la parte hueca. Tenemos una vision de como resultara el solido de revolucion, el cual esta lleno de arandelas, marcamos una de ellas que va a ser dv. De ahí podemos obtener la altura (h=dy) y los radios. el radio interno (r) que se cuenta en la direccion del eje x y es controlado por la recta de la funcion lineal, y para sacar el valor solo se despeja la ecuacion y= 2x ( ). y el radio externo (R) es controlado por la curva y se obtiende despejando de a ecuacion y = (). En la imagen de la derecha se puede observar como es realmente un arandela.[pic 116][pic 117][pic 118]

x

y = [pic 119]

0

0

1

1

2

4

x

y = 2x

0

0

2

4

[pic 120] [pic 121]

Para obtener el volumen de la arandela hay que sacar primero el volumen total y después restarle el volumen de la parte hueca con la siguiente fórmula:

[pic 122]

Ahora tenemos que tenemos V vamos a sacar dv sustituyendo los valores que ya tenemos:

[pic 123]

[pic 124]

Este es el momento en el que tenemos que integrar la expresion agregando los limites de integracion.

[pic 125]

[pic 126]

[pic 127]

Aplicamos el teorema fundamental del calculo:[pic 128]

[pic 129]

[pic 130]