El curso de Investigación de Operaciones II comprende el estudio de cadenas de Markov

...

1. La suma de las probabilidades en cada fila, debe ser igual a 1.

2. Todos los elementos de la matriz de transición son positivos porque son valores de probabilidad.

Vector de estado inicial, Vo Es un vector fila o matriz fila con las probabilidades antes de iniciar los ensayos de un experimento o antes de iniciar las observaciones de un fenómeno.

Vector de estado, Vn. Es un vector fila que da las probabilidades del sistema después de ¨n¨ observaciones.

V1 = (Vo)T

V2 = V1 T = (VoT) T = VoT2

V3 = V2 T = (VoT2 )T = VoT3

V4 = V3 T = (VoT3) T = VoT4

. . . .

. . . .

Vn = VoTn

Vector de estado estable, o matriz estacionaria Q.

Es un vector fila con las probabilidades del sistema en el largo plazo. Cuando el sistema alcanza el estado estable, las probabilidades permanecen constantes para ensayos sucesivos. La matriz estacionaria satisface la propiedad QT = Q

El Vector Q o matriz estacionaria Q es una matriz fila con la misma cantidad de columnas que la matriz T.

Cadenas de Markov en problemas de migración

Ejemplo.

Un departamento está dividido en tres regiones demográficas R1, R2 y R3. Cada año, el 16% de los residentes en la región 1 se mueve a la región 2 y el 10% se mueve a la región 3, los demás permanecen en la región 1. De los residentes en la región 2, el 15% se traslada a la región 1 y el 12% a la región 3. De los residentes en la región 3 el 8% se cambia a la región 1 y el 14% se cambia a la región 2.

a) Determine la matriz de transición T.

b) Calcule la probabilidad de que un residente en la región 1 este año, sea residente de esa misma región el próximo año, y después de dos años.

c) Si este año el 35% de la población del departamento vive en la región 1, 40% vive en la región 2 y el resto vive en la región 3, determine el porcentaje de los habitantes del departamento que serán residentes de las regiones 1, 2 y 3 después de tres años.

d) Si la población del departamento es de 120,000 habitantes, ¿cuántos estarán viviendo en cada una de las regiones después de tres años?

e) De los 120,000 habitantes del departamento, ¿cuántos serán residentes de las regiones 1, 2 y 3 en el largo plazo?

a) R1 R2 R3[pic 1]

R1 0.74 0.16 0.10

T = R2 0.15 0.73 0.12

R3 0.08 0.14 0.78

Interpretación de las probabilidades de la matriz T

0.74 es la probabilidad de que un residente de R1 ahora, siga siendo residente de R1 al final del año.

0.12 es la probabilidad de que un resiente de R2 hoy, esté residiendo en R3 después de un año.

0.08 es la probabilidad de que un residente de R3 ahora, esté residiendo en R1 al final del año.

0.78 es la probabilidad de que un residente de R3 ahora, siga siendo residente de R3 al inicio del próximo año.

Los valores de probabilidad en la diagonal principal determinan los porcentajes de fidelidad para cada región.

El % de fidelidad de los residentes a R1 es de 74%; el % de fidelidad de los residentes de R2 es de 73% y de 78% la fidelidad para R3.

b) La probabilidad de que un residente en la región 1 ahora, siga siendo residente en la región 1 el próximo año es 0.74.

Cuando no se da o no se conoce el vector de estado inicial Vo, entonces Vn = Tn . De manera que para calcular la probabilidad de que un residente de la región 1 ahora, sea residente de la región 1 después de 2 años, se debe calcular T2 . ¿Cuáles son los porcentajes de fidelidad para R1, R2 y R3 después de 2 años?

[pic 2]

0.5796 0.2492 0.1712

T2 = 0.2301 0.5737 0.1962

0.1426 0.2242 0.6332

Respuesta: La probabilidad de que un residente de la región 1 ahora, siga siendo residente de esta región después de 2 años es 0.5796

Porcentajes de fidelidad después de 2 años:

Para R1 = 57.96%

R2 = 57.37%

R3 = 63.32%

c) Vo = ( 0.35 0.40 0.25 )

Para calcular las probabilidades del sistema cuando se conoce Vo, se aplica Vn = Vo(Tn) de donde V3 = Vo T3

[pic 3]

0.4799 0.2986 0.2214

V3 = Vo T3 = (0.35 0.40 0.25) 0.2720 0.4831 0.2449

0.1898 0.2751 0.5351

V3 = (0.3243 0.3665 0.3092)

Resp. El porcentaje de habitantes del departamento que residen en R1, R2, y R3 después de tres años, es respectivamente 32.43%, 36.65% y 30.92%.

d) Resp. Después de tres años estarán residiendo en

R1 = 120,000 (0.3243) = 38,916 residentes

R2 = 120,000 (0.3665) = 43,980 residentes

R3 = 120,000 (0.3092) = 37,104 residentes

120,000

e) Las probabilidades de largo plazo están dadas por la matriz Q. La matriz estacionaria Q es una matriz fila con la misma cantidad de columnas que la matriz T de donde Q = (q1 q2 q3)

Para calcular las probabilidades de largo plazo, se aplica QT = Q

Q