Factor comun monomio,trinomio

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Ejemplo: Factorar x^4 +x^2y^2 +y^4

1º) Comprobar si el trinomio es cuadrado perfecto:

raíz cuadrada de x^4 = x^2 ; Raíz cuadrada de y^4 = y^2

el 2º término debiera ser 2(x^2)(y^2) = 2x^2 y^2

Comparando 2º término (2x^2y^2) – (x^2y^2) = x^2y^2 lo que le falta

2º) Convirtiendo a trinomio cuadrado perfecto, sumando la diferencia que falta al 2º término y restando la misma diferencia al trinomio dado, así:

x^4 + x^2y^2 + y^4 (Trinomio original)

. + x^2y^2 – x^2y^2 (sumando y restando lo que le hace falta)

x^4 +2x^2y^2 +y^4 -x^2y^2 = (x^4 +2x^2y^2 +y^4) -x^2y^2 (resultado de convertir el trinomio)

3º) Factorando el trinomio cuadrado perfecto Caso III:

(x^4 +2x^2y^2 +y^4) – x^2y^2 = (x^2 + y^2)^2 – x^2y^2

4º) Factorando la diferencia de cuadrados Caso IV:

(x^2 + y^2)^2 – x^2y^2 = (x^2 +y^2 +xy)(x^2y^2 -xy)

Ordenado sería = (x^2 +xy +y^2)(x^2 -xy+y^2)

1) Factorar a^4+a^2+1 =

> Comprobando si es trinomio cuadrado perfecto:

Raíz cuadrada de a^4 = a^2 ; raíz cuadrada de 1 = 1

El 2º término debe ser: 2(a^2)(1) = 2a^2

> Comparando los 2ºs términos: 2a^2 – a^2 = a^2

> Convirtiendo a cuadrado perfecto (sumando lo que falta al 2º término y restando la diferencia que falta al trinomio dado):

a^4 + a^2 + 1

. + a^2 -a^2

a^4 +2a^2 + 1 -a^2 = (a^4 +2a^2 +1) – a^2

> Factorando el trinomio cuadrado perfecto como en el Caso III:

(a^4 +2a^2 +1) – a^2 = (a^2 +1)^2 – a^2

> Factorando como diferencia de cuadrados perfectos:

(a^2 +1)^2 – a^2 = (a^2 +1 +a)(a^2 +1 -a)

ordenado quedaría así (a^2 +a+1)(a^2-a+1)

Trinomio de la forma ax^2 +bx +c

Condiciones que debe cumplir un trinomio de la forma ax^2 +bx +c:

– El primer término tiene un coeficiente mayor que 1 y tiene una letra cualquiera elevada al cuadrado.

– El segundo término tiene la misma letra que el primero pero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera positiva o negativa.

– El tercer término es una cantidad cualquiera positiva o negativa sin ninguna letra en común con el 1° y 2° términos.

Procedimiento para el trinomio de la forma ax^2 +bx +c: [pic 6]

–Antes de descomponer el trinomio en dos factores binomios,

se procede así: como ejemplo: 6x^2 -7x -3

1°) Se multiplica el coeficiente del primer término ” 6 ” por todo el trinomio, dejando el producto del 2° término indicado:

6(6x^2 -7x +3) = 36x^2 -6(7x) -18

2°) Se ordena tomando en cuenta que 36x^2 = (6x)^2 y 6(-7x) = -7(6x), escribiéndolo de la siguiente manera: (6x)^2 -7(6x) -18

3°) Luego se procede a factorar (6x)^2 -7(6x) -18 como un problema del Caso VI. con una variante que se explica en el Inciso 6°

4°) Se forman 2 factores binomios con la raíz cuadrada del primer término del trinomio: (6x- )(6x+ )

5°) Se buscan dos #s cuya diferencia sea -7 y cuyo producto sea -18 ; y esos #s son -9 y +2 porque: -9 +2 = -7 y (-9)(2) = -18 –> = (6x-9)(6x+2)

6°) Aquí está la variante: Como al principio multiplicamos el trinomio por “6”, entonces ahora los factores binomios encontrados, los dividimos entre “6”

(6x-9)(6x+2) / 6 ; como ninguno de los binomios es divisible entre “6” entonces descomponemos el “6” en dos factores (3 y 2), de manera que uno divida a un factor binomio y el segundo divida al otro. Así: (6x-9) / 3 y (6x+2) / 2 , y estos cocientes quedarían así: (2x-3)(3x+1). que sería la Solución.

Ejemplo:

a) Factorar 20x^2 +7x -6

>> Multiplicando el trinomio por el coeficiente del 1° término (20):

20(20x^2 +7x -6) = 400x^2 +20(7x) -120, se ordena tomando en cuenta que 400x^2 = (20x)^2 y 20(7x) = 7(20x),

quedaría así: (20x)^2 +7(20x) -120

>> Se factoriza (20x)^2 +7(20x) -120, como un Caso VI

Se encuentra dos factores binomios: (20x + )(20x- )

Se buscan 2 #s cuya diferencia sea 7 y cuyo producto sea -120,

y estos son: 15 y -8, porque 15 -8 = 7 y (15)(-8) = -120 –>

la Solución parcial sería : (20x+15)(20x-8)

>> Aplicando la Solución (20x+15)(20x-8) para el caso VII;

Como multiplicamos el trinomio original por 20, ahora dividimos la Solución por 20: (20x+15)(20x-8) / 20 ,

como los binomios no son divisibles entre 20; –> descomponemos el 20 en 2 #s, tal que el 1° # divida a un factor binomio y el 2° # divida al otro factor:

y éstos son: 5 y 4 porque (20x+15) / 5 = (4x+3) y (20x-8) / 4 = (5x-2)

–> la Solución final es: (4x+3)(5x-2)

Trinomio de la forma x^2 +bx +c

El