Investigación de Operaciones - Procesos Poisson

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- T = tiempo de reparación del bus , exponencial con parámetro 2 reparaciones/hora

Se pide P (T > 0.5) = exp (-2 * 0.5) = 0.3678794.

- Sea T(1) = tiempo de reparación del bus , exponencial con parámetro 2 reparaciones/hora.

Sea T(2) = tiempo de llegada de bus sustituto, exponencial con parámetro 3 llegadas/hora.

Se pide P(T(2)

- N(t) = cantidad de visitantes al parque temático es Poisson con parámetro λ(t)

[pic 29]

Se pide P ( N(t=[11,12]) = 100 y N(t=[12,13]) = 300) =

P ( N(t=[11,12]) = 100 ) * P( N(t=[12,13]) = 300) =

= 0[pic 30]

donde = 8.5[pic 31]

- Sea T(i)=Tiempo de atención del i-ésimo cliente, exponencial con parámetro ½ cliente/minuto.

Se pide E[W(5)] y Var[W(5)],

donde W(5) = T(1) + T(2) + T(3) + T(4) + T(5), una variable gamma o erlang con parámetros k=5 y lambda=1/2 cliente/minuto.

E[W(5)] = k/lambda = 5*2 = 10.

Var[W(5)] = k/ (lambda^2) = 5 * 4 = 20.

- Si T(i)=Tiempo hasta la descarga de batería i, con parámetro 1/12 descargas/hora

Sea S = min(T1,T2,T3,T4), el mínimo tiempo hasta que alguna batería se descargue, que sigue distribución exponencial con parámetro (4 * 1/12).

Se pide P( S

Problema 8:

- Sea X(s,t) : número de trabajos de la FIC que llegan al centro de impresión en el intervalo (s,t) ∼ Poisson (10 (t-s))

Sea Y(s,t): número de trabajos de la FAL que llegan al centro de impresión en el intervalo (s,t)∼ Poisson (15 (t-s))

Si durante la primera hora no han llegado documentos significa que no han llegado trabajos ni del a FIC ni de la FAL por lo que X(8:00,9:00) + Y(8:00,9:00) = 0.

Pr [Y(9:00,9:30) = 2 / X(8:00,9:00) + Y(8:00,9:00) = 0 ]

= Pr [Y(9:00,9:30) = 2] por propiedad de incrementos independientes

= Pr [Y(0,5) = 2] por propiedad de incrementos estacionarios

= e-7,5 . 7,52 / 2!

- Sea TFIC tiempo de llegada del primer trabajo del día de la FIC

Sea TFAL tiempo de llegada del primer trabajo del día de la FAL

Pr [ TFIC FAL ] = 10 / (10 + 15) = 0.4 por carrera de exponenciales

- La tasa a la que llegan los trabajos al centro es = 10 + 15 = 25 trabajos/hora (por agregación)

El 30% de los trabajos que llegan contiene tres documentos.

La tasa a la que llegan los trabajos que contienen tres documentos es = 25 x 0.3 = 7,5 trabajos/hora (por desagregación)

El tiempo esperado entre trabajos de este tipo es 1/7,5 horas = 8 minutos.

El primer trabajo de este tipo se espera recibir a los 8 minutos de abierto el centro de impresión.

- Sea N(s,t) : número de trabajos que llegan al centro de impresión en el intervalo (s,t)

N(s,t) = X(s,t) + Y(s,t) ∼Poisson (25 (t-s)) por agregación

Pr [ X(9:00,10:00) = 2 / N(9:00,10:0) = 6 ]

Pr [ X(9:00,10:00) = 2 ∧ N(9:00,10:0) = 6 ] / Pr [N(9:00,10:0) = 6 ]

Pr [ X(1) = 2 ∧ Y(1) = 4 ] / Pr [N(1) = 6 ]

Pr [ X(1) = 2] * Pr [Y(1) = 4 ] / Pr [N(1) = 6 ]

( e-10 * 102 / 2! * e-15 * 154 / 4! ) / (e-25 * 256 / 6!) = 6! * 4! / 2! * 0,42 * 0,64

- El número esperado de trabajos que se recibe al día =

E[ N(8:00,18:00)] = E [N(10)] = 25 * 10 = 250 trabajos/día

El número esperado de documentos que viene en cada trabajo es: 0.1*1 + 0.4*2 + 0,3*3 + 0.2*4 = 2,6 documentos/trabajo

El número esperado de documentos que se recibe al día es = 250 * 2,6 = 650 documentos/día

El costo esperado de operación es = 650 * 100 = 6.500 $/día

- Si bien los tiempos entre eventos son exponenciales, cuando ocurre un evento (llegada un trabajo al centro), la cantidad de documentos recibidos se puede incrementar en 1,2,3 ó 4, dependiendo de cuantos documentos contenga el trabajo. Como no se cumple la propiedad de incrementos unitarios, entonces el proceso que cuenta la cantidad de documentos recibidos no es un proceso de Poisson. -

Problema 9:

- N(t) = Cantidad de llegadas en un tiempo t ~ Poisson (lambda = 3 llegadas/min)

Lo que sucede antes del mediodía es independiente de lo que sucede después del mediodía

P(N[12-16] = 100 ) = P(N4 horas = 100) = e(-3*4*60) * (3*4*60)^100 / 100!

- P(T1

- Por teorema de la adición NRM es Poisson con parámetro 3*0.7 = 2.1 llegadas/min

E( NRM1 día ) = 2.1* (8 horas * 60 min) = 1008

Si se vendieron 8500*0.9= 76500

Se demoraron entonces 76500/1008 = 75.89 días