La derivada y sus aplicaciones.

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DERIVADA DE LA FUNCIÓN CONSTANTE

Sea la función constante f(x) = c. Entonces, la derivada de esta función vale cero.

DERIVADA DE LA FUNCIÓN IDENTIDAD

Sea f(x) la función identidad y = x. La derivada de esta función es igual a la unidad.

DERIVADA DE UNA SUMA DE FUNCIONES

La derivada de la suma (o resta) algebraica de un número finito de funciones es igual a la suma (o resta) algebraica de las derivadas de las funciones.

DERIVADA DEL PRODUCTO DE DOS FUNCIONES

La derivada del producto de dos funciones es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda, más el producto de la segunda por la derivada de la primera.

Esta fórmula puede aplicarse más de una vez si se trata del producto de n funciones derivables, haciendo uso de la ley asociativa de la multiplicación.

DERIVADA DEL PRODUCTO DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN

Como corolario de lo anterior, la derivada del producto de una constante por una función es igual a la constante por la derivada de la función.

DERIVADA DEL COCIENTE DE DOS FUNCIONES

La derivada del cociente de dos funciones es igual al producto del denominador por la derivada del numerador, menos el producto del numerador por la derivada del denominador, y todo dividido entre el cuadrado del denominador.

DERIVADA DEL COCIENTE DE UNA CONSTANTE ENTRE UNA FUNCIÓN

Como corolario de lo anterior, la derivada del cociente de una constante entre una función es igual al producto del simétrico de la constante por la derivada de la función, dividida entre el cuadrado de la función.

DERIVADA DEL COCIENTE DE UNA FUNCIÓN ENTRE UNA CONSTANTE

También como corolario, la derivada del cociente de una función entre una constante es igual a la derivada de la función entre la constante.

DERIVADA DE LA POTENCIA DE EXPONENTE NATURAL DE UNA FUNCIÓN

La derivada de la potencia de una función elevada a un exponente natural, es igual al producto del exponente por la función elevada al exponente disminuido en una unidad y por la derivada de la función.

DERIVADA DE LA RAÍZ CUADRADA DE UNA FUNCIÓN

Como corolario de lo anterior, la derivada de la raíz cuadrada de una función es igual al cociente de la derivada del subradical entre el doble de la misma raíz.

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRASCENDENTES

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES CIRCULARES DIRECTAS

En lo que sigue, u = f(x) es una función derivable.

DERIVADA DE LA FUNCIÓN SENO

Sea y = sen u

Dx sen u = cos u Dxu[pic 52]

DERIVADA DE LA FUNCIÓN COSENO

Sea y = cos u

Dx cos u = - sen u Dxu[pic 53]

DERIVADA DE LA FUNCIÓN TANGENTE

Sea y = tg u

Dx tg u = sec2 u Dxu[pic 54]

DERIVADA DE LA FUNCIÓN COTANGENTE

Sea y = ctg u

Dx ctg u = - csc2 u Dxu[pic 55]

DERIVADA DE LA FUNCIÓN SECANTE

Sea y = sec u

Dx sec u = sec u tg u Dxu[pic 56]

DERIVADA DE LA FUNCIÓN COSECANTE

Sea y = csc u

Dx csc u = -csc u ctg u Dxu[pic 57]

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES CIRCULARES INVERSAS

DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA DEL SENO

Sea y = ang sen u

Dx ang sen u = [pic 58][pic 59]

DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA DEL COSENO

Sea y = ang cos u

Dx ang cos u = [pic 60][pic 61]

DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA DE LA TANGENTE

Sea y = ang tg u

Dx ang tg u = [pic 62][pic 63]

DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA DE LA COTANGENTE

Sea y = ang ctg u

Dx ang ctg u = [pic 64][pic 65]

DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA DE LA SECANTE

Sea y = ang sec u

Dx ang sec u = [pic 66][pic 67]

DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA DE LA COSECANTE

Sea y = ang csc u

Dx ang csc u = [pic 68][pic 69]

DERIVADA DE LA FUNCIÓN IMPLÍCITA

En una función presentada en forma implícita la variable dependiente no está despejada. Sin embargo, es posible obtener la derivada de y respecto a x usando el proceso conocido como “derivación implícita”.

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DEFINIDA EN FORMA PARAMÉTRICA

Como se vio previamente, existe otra forma de representar una función y = F(x), que es la forma paramétrica:

x = f(t)

y = g(t)

Para calcular la derivada de y con respecto a x de una función expresada en forma paramétrica se usa la siguiente fórmula:

Dxy = = [pic 70][pic 71]

LA FUNCIÓN DERIVADA

La derivada de la función