La función proposicional

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Ejemplo: Sea el conjunto A={el conjunto de los números naturales}, una relación binaria del conjunto A sobre sí mismo puede ser, R = ser múltiplo de, de tal forma que, por ejemplo, 4 está relacionado con 2 (es decir, 4 es un múltiplo de 2), por tanto escribimos 4R2 o (4,2)

En el caso de no estar relacionados escribiremos “a” no está relacionado con “b” tachando la R. Un ejemplo de dos elementos que no están relacionados con esta relación son 3 y 5.

A considerar: El conjunto R(AxB) de todos los elementos que están relacionados es un subconjunto del producto cartesiano AxB.

- Formas de representación: Para representar las relaciones binarias, podemos utilizar dos tipos de gráficos:

- El diagrama cartesiano: En el cual se representan los ejes cartesianos, y en cada eje los elementos de cada conjunto. Representaremos las relaciones por medio de puntos (si el eje es similar al eje de coordenadas) o por medio de cruces si lo representamos mediante cuadrículas

- Diagrama sagital o flechas (mediante diagramas de Venn): Donde se representa los elementos del conjunto dentro del círculo y se mostrarán las relaciones mediante flechas.

Ejemplo:

R(M) = {(a,b),(b,c),(d,b)}

- Mediante el diagrama cartesiano:

[pic 1]

- Utilizando el diagrama sagital (considerar que la punta de la flecha indica la dirección de la relación)

[pic 2]

- Propiedades de las relaciones binarias: Las relaciones binarias pueden cumplir las siguientes propiedades (no tienen por qué cumplir todas, pues pueden cumplir solo algunas e incluso ninguna) Dado el conjunto M, y una relación R sobre el conjunto MxM.

- Propiedad reflexiva: Esta propiedad se da cuando todo elemento del conjunto está relacionado consigo mismo: para todo elemento de M x, entonces →xRx.

- Propiedad simétrica: Dados dos elementos cualesquiera del conjunto M se cumple que si el primer elemento está relacionado con el segundo, entonces se cumple también la relación al contrario, es decir, el segundo no está relacionado con el primero: si xRy → yRx

- Propiedad antisimétrica: Dados dos elementos del conjunto, si el primer elemento está relacionado con el segundo, entonces el segundo no está relacionado con el primero: si xRy → y no Rx.

- Propiedad transitiva: Dados tres elementos del conjunto, si el primer elemento está relacionado con el segundo, y el segundo relacionado con el tercero, entonces el primero también está relacionado con el tercero: si xRy e yRz →xRz.

- Propiedad conexa: Dados dos elementos cualesquiera del conjunto estos están relacionados. O bien xRy o bien yRx.