Método de flexibilidad matricial.
Enviado por Stella • 6 de Abril de 2018 • 2.272 Palabras (10 Páginas) • 729 Visitas
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De esta forma se pasa de una solución continua (desplazamientos y esfuerzos en todos los puntos de la estructura) a una solución discreta (desplazamientos y esfuerzos en los nudos extremos de cada elemento).
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Solución particular y complementaria
En el método de la flexibilidades, la solución de una estructura hiperestática se logra mediante la superposición de desplazamientos de estructuras isostáticas, que se les puede llamar estructuras primarias.
La estructura primaria no es única, ya que depende de la selección que se haga de las incógnitas o redundantes y la mejor de ellas será la que involucre el mínimo de trabajo numérico. Para obtener la estructura primeria, se hace la supresión de apoyos, o la transformación de un tipo de apoyo en otro más simple, o por una ruptura de la elástica de la estructura, que puede ser angular, lateral o longitudinal.
Para aclarar lo anterior, veamos la estructura siguiente:
[pic 6]
Figura 3
Es una estructura hiperestática en tercer grado y dependiendo de la selección de incógnitas, podría haber entre otras, las siguientes estructuras primarias:
[pic 7]
Figura 4
Se hace notas que las condiciones que tienen estas estructuras primarias o cualquiera otra deben ser estabilidad e isosticidad.
Se le llamará solución particular a la estructura primaria sobre la que actúan las fuerzas externas y solución complementaria a la estructura primaria sobre la cual actúan cada una de las redundantes o incógnitas.
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Calculo de las flexibilidades
Para ilustrar el cálculo de las flexibilidades y la formulación de las ecuaciones de compatibilidad, se resolverá la estructura siguiente:
[pic 8]
Figura 5
De acuerdo con la estructura primaria, las incógnitas serán las reacciones vertical y horizontal en D y el momento en D.
Por lo tanto, la estructura real se podrá descomponer en la suma de las siguientes estructuras primarias con los efectos indicados en la fig. 6.
[pic 9]
Figura 6
La base de la compatibilidad en la estructura real será que el desplazamiento vertical, horizontal y el giro en D son nulos.
La representación gráfica de dichos desplazamientos se muestra a continuación Fig. 7:
[pic 10]
Figura 7
El primer subíndice indica la correspondencia con el grado de libertad y el segundo la causa que provoca el desplazamiento. Por ejemplo,
Indica el desplazamiento horizontal debido al momento que es la causa 3.[pic 11]
Las ecuaciones de compatibilidad se escribirán como sigue:
- El desplazamiento vertical en D es nulo:
[pic 12]
- El desplazamiento horizontal en D es nulo:
[pic 13]
- El giro en D es nulo:
[pic 14]
Del sistema anterior de ecuaciones lineales, se obtendrá el valor de las incógnitas , , . Si alguno de los valores obtenidos resulta con un signo negativo, significa que actúa en dirección contraria a la supuesta.[pic 15][pic 16][pic 17]
Es conveniente definir el efecto de las fuerzas redundantes de la estructura primaria en términos de los desplazamiento producidos por fuerzas (o causas) unitarias correspondientes a las redundantes.
Por ejemplo, corresponde al grado de libertad debido a una causa (fuerza o momento) unitaria aplicada en . A este valor se le llama coeficiente de flexibilidad.[pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]
Los coeficientes de flexibilidad, son entonces desplazamientos debidos a causas unitarias y dependen de la geometría y propiedades elasticidad de la estructura primaria y son independientes del sistema de cargas real de la estructura real.
Así, por ejemplo, en la estructura anterior y son coeficientes de flexibilidad lineales y es un coeficiente de flexibilidad angular. (Figura 7).[pic 22][pic 23][pic 24]
Expresando el sistema de ecuaciones del ejemplo resuelto en forma matricial:
[pic 25]
Los coeficientes de flexibilidad así arreglados forman la matriz de flexibilidades, la cual es siempre simétrica, debido al teorema recíproco de Maxwell-Betti y es una matriz cuadrada cuya diagonal principal es siempre positiva.
Los coeficientes de flexibilidad pueden obtenerse por cualquier método, sin embargo el más recomendable es el de trabajos virtuales.
Por ejemplo, para obtener el valor de sería: (figura 8) el desplazamiento horizontal debido al momento unitario.[pic 26]
[pic 27]
Figura 8
[pic 28]
En forma general: ;[pic 29]
La secuela de cálculo, para la aplicación del método de las flexibilidades, puede resumirse como sigue:
- Determinar el grado de hiperestaticidad n de la estructuras.
- Seleccionar las “n” incógnitas o redundantes y por lo tanto la estructura primaria correspondiente.
- Resolver las “n + 1” estructuras, calculando los desplazamientos y resolver el sistema, obteniendo así el valor de cada una de las incógnitas.
- Obtención de los diagramas de elementos mecánicos.
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Armaduras
En el análisis de armaduras hiperestáticas, al
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