POTENCIA DE “i” MODULO O VALOR ABSOLUTO DE UN NUMERO COMPLEJO

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1.2 OPERAIONES FUNDAMENTALES CON NUMEROS COMPLEJOS

=Multiplicación=

El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = −1.

(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

( 5 + 2 i) · ( 2 − 3 i) =

=10 − 15i + 4i − 6 i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i

*Multiplicación de complejos en forma polar

producto

645° · 315° = 1860°

=Potenciación=

La potencia enésima de número complejo es otro número complejo tal que:

Su módulo es la potencia n−ésima del módulo.

Su argumento es n veces el argumento dado.

[pic 12]

Ejemplo:

[pic 13]

=Forma Binomica=

La forma Binomica de un numero complejo es: Z = a + bi

La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando partes reales entre si y partes imaginarias entre si.

La suma de números complejos se realiza sumando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i

Resta de números complejos

La diferencia de números complejos se realiza restando partes reales e imaginarias entre sí (se resuelve de la misma forma que la suma)

( a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d) i

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d) i

( 5 + 2 i) + ( − 8 + 3 i) − (4 − 2i ) = (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i

=División con números complejos=

El cociente de números complejos se hace racionalizando el denominador; esto es, multiplicando numerador y denominador por el conjugado de este. [pic 14]

Ejemplo

(3 + 2i) + 8-7-i) = (3-7) + (2i – i) = -4 + i

= (5 + 3i) + {(-1 + 2i) + (7-5i)}

=(5 + 3i) + {(-1 + 7) + (2i – 5i)}

= (5 + 3i) + (6 – 3i)

= (5 + 6) + (3i – 3i)

= 11

1.3 POTENCIA DE “i” MODULO O VALOR ABSOLUTO DE UN NUMERO COMPLEJO

La potencia de los números imaginarios es simplemente una forma única de la operación de multiplicación. Antes de realizar algo con ella, se asume que el valor de i2 es igual a −1. Esto se puede tomar como un hecho universal de las matemáticas. Todos los otros valores de exponente de i son determinados a partir de este valor global.

A través de esta afirmación, el valor de i3 se convierte en i2 x i. Esto nos produce −1 x i, por lo tanto, obtenemos el valor de i3 como -i. Del mismo modo, el valor de i4 puede obtenerse mediante la ruptura de términos como i¬2 x i2. Por lo tanto, tenemos −1 x −1 y por ello, el valor de i4 viene siendo 1. De esta manera, cualquier valor de la potencia de i puede determinarse rompiendo términos primarios, cuyos valores ya conocemos y su multiplicación, nos ofrecerá el valor deseado. A continuación damos la tabla de las numerosas potencias de i.[pic 15]

El módulo o valor absoluto es un concepto esencial de las matemáticas, ya sea respecto a los números reales o complejos. Ya sabemos que el módulo de un número es siempre el número mismo removiéndole su signo de magnitud. Es decir, si el número es positivo, entonces su módulo nos da, de nuevo el mismo número, pero si el número dado es negativo, entonces su módulo sería, la forma positiva de ese número.

1.4 FORMA POLAR Y EXPONENCIAL DE UN NÚMERO COMPLEJO

Operaciones de multiplicación y división en la forma polar:

Regla de la multiplicación: En la multiplicación de dos números complejos, las respectivas magnitudes y los ángulos son sumados.

Regla de la División: En ella, las magnitudes se dividen y los ángulos se restan con el fin de encontrar el cociente.

Aparte de la forma polar y rectangular, los números complejos también pueden representarse en forma exponencial. Esto es en la forma r e i θ. Aquí ‘e’ es el exponente y tiene un valor igual a 2.71828….

En esta definición, el valor de r es igual que en el anterior, este es el valor absoluto o módulo y define el componente angular del número el cual es medido en términos de radianes. Esta forma de escribir un número complejo, aunque es similar a la de la forma polar, es aún más concisa que esta. En primer lugar tenemos que entender el concepto detrás de la formulación de este tipo de números complejos.

Sabemos, que las series de cos x y sen x pueden escribirse como,

cos x = 1 – (x2/ 2) + (x4/ 4) - …

sin x = x – (x3/ 3) + (x5/ 5) - …

Ya sabemos que en la forma polar un número complejo se escribe como [r (cos + i sin )]. Imaginemos que el valor de r es 1, por lo tanto, nos quedamos con cos + i sin . Por lo tanto, lo ampliamos utilizando la fórmula anterior como,

cos + i sin = 1 + i - ( 2/ 2) – (i 3/ 3) + ( 4/ 4) + ( 5 / 5)

Ahora, tenemos la serie ex como,

ex = 1 + x + (x2/ 2) + (x3/ 3) + (x4/ 4) + …

Ahora, sustituye i por x y tenemos,

Y la forma simplificada viene siendo,

Por lo tanto, podemos decir que,

cos