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Numeros Complejos. ALGEBRA LINEAL

Enviado por   •  27 de Abril de 2018  •  1.303 Palabras (6 Páginas)  •  547 Visitas

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...

[pic 90]

Y como , sustituimos en la ecuación;[pic 91]

[pic 92]

---------------------------------------------------------------

1.3 POTENCIAS DE “i”, MÓDULO O VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO COMPLEJO.

Cuando elevamos a una potencia la parte imaginaria “i”, podemos identificar un resultado que sigue un patrón de la siguiente manera:

[pic 93]

[pic 94]

[pic 95]

[pic 96]

[pic 97]

[pic 98]

[pic 99]

[pic 100]

[pic 101]

[pic 102]

[pic 103]

En base a ésta observación, sabemos que al final de una ecuación siempre lograremos obtener o bien, 1; ya sea con signo positivo o negativo.[pic 104]

Si observamos un número complejo, representado de manera gráfica, podremos definir al valor absoluto de como , pues no es más que la magnitud de , o dicho de otra forma, la distancia desde el origen, hasta . Así, .[pic 105][pic 106][pic 107][pic 108][pic 109][pic 110]

[pic 111]

[pic 112][pic 113][pic 114]

[pic 115][pic 116][pic 117]

[pic 118][pic 119]

[pic 120][pic 121][pic 122]

[pic 123][pic 124][pic 125]

Imagen 1.- Representación gráfica de un número complejo

El argumento de , representado por , es el ángulo entre la recta y el lado positivo de Re . Sean , entonces:[pic 126][pic 127][pic 128][pic 129][pic 130]

si [pic 131][pic 132]

si y [pic 133][pic 134][pic 135]

si y [pic 136][pic 137][pic 138]

si y [pic 139][pic 140][pic 141]

si y [pic 142][pic 143][pic 144]

no está definido.[pic 145]

1.4 FORMA POLAR Y EXPONENCIAL DE UN NÚMERO COMPLEJO.

De la imagen 1 sabemos que y , de manera que podemos afirmar que para , tenemos:[pic 146][pic 147][pic 148]

[pic 149]

Si , por lo tanto:[pic 150]

[pic 151]

Para lo cual, se define como la manera polar de .[pic 152][pic 153]

Ejemplo 7: Defina la forma polar del siguiente número complejo: [pic 154]

Si , sabemos que el argumento , y a su vez, , entonces;[pic 155][pic 156][pic 157]

[pic 158]

Ejemplo 8: Defina la forma polar del siguiente número complejo: .[pic 159]

; [pic 160][pic 161]

[pic 162]

Ejemplo 9: Defina la forma polar del siguiente número complejo: [pic 163]

; [pic 164][pic 165]

[pic 166]

Ejemplo 10: Defina la forma polar del siguiente número complejo: [pic 167]

;[pic 168]

[pic 169]

[pic 170]

---------------------------------------------------------------

1.5 TEOREMA DE MOIVRE, POTENCIAS Y EXTRACCIÓN DE RAÍCES DE UN NÚMERO COMPLEJO.

Si tenemos que , entonces , por lo que podemos afirmar que:[pic 171][pic 172]

[pic 173]

Así obtenemos el teorema de Moivre:

[pic 174]

Dicho teorema, nos permite desarrollar potencias de de una manera más sencilla, a partir de la forma polar de .[pic 175][pic 176]

Ejemplo 11: Resuelva .[pic 177]

Del Ejemplo 10, sabemos que la forma polar de es , por lo que podemos desarrollar de la siguiente manera:[pic 178][pic 179][pic 180]

en forma polar;[pic 181]

[pic 182]

Ejemplo 12: Resuelva .[pic 183]

; ; [pic 184][pic 185][pic 186]

[pic 187]

.[pic 188]

Tomando la ecuación polinómica de grado , , tenemos que las raíces de dicha ecuación son números complejos. Despejando , obtenemos:[pic 189][pic 190][pic 191][pic 192]

[pic 193]

Al calcular la raíz – ésima de un número complejo, obtendremos un conjunto de números complejos.[pic 194][pic 195]

Utilizando la magnitud y su argumento , calcularemos las raíces de un número complejo, empleando la siguiente ecuación:[pic 196][pic 197]

[pic 198]

Es decir, tomando la expresión anterior y asignando a los valores obtendremos números complejos distintos, los cuales se denominarán como raíces - ésimas de .[pic 199][pic 200][pic 201][pic 202][pic 203]

Ejemplo 13: Determine la raíz cuadrada de .[pic 204]

[pic 205]

Por lo tanto;

[pic

...

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