Numeros Complejos. ALGEBRA LINEAL
Enviado por Ninoka • 27 de Abril de 2018 • 1.303 Palabras (6 Páginas) • 466 Visitas
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[pic 90]
Y como , sustituimos en la ecuación;[pic 91]
[pic 92]
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1.3 POTENCIAS DE “i”, MÓDULO O VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO COMPLEJO.
Cuando elevamos a una potencia la parte imaginaria “i”, podemos identificar un resultado que sigue un patrón de la siguiente manera:
⁞
[pic 93]
[pic 94]
[pic 95]
[pic 96]
[pic 97]
[pic 98]
[pic 99]
[pic 100]
[pic 101]
[pic 102]
[pic 103]
⁞
En base a ésta observación, sabemos que al final de una ecuación siempre lograremos obtener o bien, 1; ya sea con signo positivo o negativo.[pic 104]
Si observamos un número complejo, representado de manera gráfica, podremos definir al valor absoluto de como , pues no es más que la magnitud de , o dicho de otra forma, la distancia desde el origen, hasta . Así, .[pic 105][pic 106][pic 107][pic 108][pic 109][pic 110]
[pic 111]
[pic 112][pic 113][pic 114]
[pic 115][pic 116][pic 117]
[pic 118][pic 119]
[pic 120][pic 121][pic 122]
[pic 123][pic 124][pic 125]
Imagen 1.- Representación gráfica de un número complejo
El argumento de , representado por , es el ángulo entre la recta y el lado positivo de Re . Sean , entonces:[pic 126][pic 127][pic 128][pic 129][pic 130]
si [pic 131][pic 132]
si y [pic 133][pic 134][pic 135]
si y [pic 136][pic 137][pic 138]
si y [pic 139][pic 140][pic 141]
si y [pic 142][pic 143][pic 144]
no está definido.[pic 145]
1.4 FORMA POLAR Y EXPONENCIAL DE UN NÚMERO COMPLEJO.
De la imagen 1 sabemos que y , de manera que podemos afirmar que para , tenemos:[pic 146][pic 147][pic 148]
[pic 149]
Si , por lo tanto:[pic 150]
[pic 151]
Para lo cual, se define como la manera polar de .[pic 152][pic 153]
Ejemplo 7: Defina la forma polar del siguiente número complejo: [pic 154]
Si , sabemos que el argumento , y a su vez, , entonces;[pic 155][pic 156][pic 157]
[pic 158]
Ejemplo 8: Defina la forma polar del siguiente número complejo: .[pic 159]
; [pic 160][pic 161]
[pic 162]
Ejemplo 9: Defina la forma polar del siguiente número complejo: [pic 163]
; [pic 164][pic 165]
[pic 166]
Ejemplo 10: Defina la forma polar del siguiente número complejo: [pic 167]
;[pic 168]
[pic 169]
[pic 170]
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1.5 TEOREMA DE MOIVRE, POTENCIAS Y EXTRACCIÓN DE RAÍCES DE UN NÚMERO COMPLEJO.
Si tenemos que , entonces , por lo que podemos afirmar que:[pic 171][pic 172]
[pic 173]
Así obtenemos el teorema de Moivre:
[pic 174]
Dicho teorema, nos permite desarrollar potencias de de una manera más sencilla, a partir de la forma polar de .[pic 175][pic 176]
Ejemplo 11: Resuelva .[pic 177]
Del Ejemplo 10, sabemos que la forma polar de es , por lo que podemos desarrollar de la siguiente manera:[pic 178][pic 179][pic 180]
en forma polar;[pic 181]
[pic 182]
Ejemplo 12: Resuelva .[pic 183]
; ; [pic 184][pic 185][pic 186]
[pic 187]
.[pic 188]
Tomando la ecuación polinómica de grado , , tenemos que las raíces de dicha ecuación son números complejos. Despejando , obtenemos:[pic 189][pic 190][pic 191][pic 192]
[pic 193]
Al calcular la raíz – ésima de un número complejo, obtendremos un conjunto de números complejos.[pic 194][pic 195]
Utilizando la magnitud y su argumento , calcularemos las raíces de un número complejo, empleando la siguiente ecuación:[pic 196][pic 197]
[pic 198]
Es decir, tomando la expresión anterior y asignando a los valores obtendremos números complejos distintos, los cuales se denominarán como raíces - ésimas de .[pic 199][pic 200][pic 201][pic 202][pic 203]
Ejemplo 13: Determine la raíz cuadrada de .[pic 204]
[pic 205]
Por lo tanto;
[pic
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