Partición de un intervalo

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Definición 3: Si f es una función continua sobre el intervalo [a, b], entonces la integral definida de f de a a b, que se indica [pic 20]es el número:

[pic 21]=[pic 22] [f(t1) + f(t2) + f(t3) + ……………………… + f(tn)] D x

[pic 23]=[pic 24] donde x0 = a, xn = b y D x = [pic 25].

(la función se evalúa en cualquier punto ti de cada subintervalo [xi-1, xi] con i = 1, .., n)

El número a es el límite inferior de integración y el número b es el límite superior de integración .

Notación y terminología:

[pic 26]

Cuando se calcula el valor de la integral definida se dice que se e valúa la integral.

La continuidad asegura que los límites en las tres definiciones existen y dan el mismo valor por eso podemos asegurar que el valor de [pic 27] es el mismo independientemente de cómo elijamos los valores de x para evaluar la función (extremo derecho, extremo izquierdo o cualquier punto en cada subintervalo). Enunciamos entonces una definición más general.

Definición de integral definida: Sea f una función continua definida para a £ x £ b. Dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos de igual ancho D x = [pic 28]. Sean x0 = a y xn = b y además x0, x1, ...., xn los puntos extremos de cada subintervalo. Elegimos un punto ti en estos subintervalos de modo tal que ti se encuentra en el i-ésimo subintervalo [xi-1, xi] con i = 1, .., n.

Entonces la integral definida de f de a a b es el número [pic 29]=[pic 30].

La integral definida es un número que no depende de x. Se puede utilizar cualquier letra en lugar de x sin que cambie el valor de la integral.

Aunque esta definición básicamente tiene su motivación en el problema de cálculo de áreas, se aplica para muchas otras situaciones. La definición de la integral definida es válida aún cuando f(x) tome valores negativos (es decir cuando la gráfica se encuentre debajo del eje x). Sin embargo, en este caso el número resultante no es el área entre la gráfica y el eje x.

Observación: La suma [pic 31] que aparece en la definición de integral definida se llama suma de Riemann en honor al matemático alemán Bernahrd Riemann. Su definición incluía además subintervalos de distinta longitud.

Definición de las sumas de Riemann: Sea f una función definida en el intervalo cerrado [a, b] y sea una división (partición) arbitraria de dicho intervalo a = x0 £ x1 £ x2 £ x3 £ ......... £ xn-1 £ xn = b donde D xi indica la amplitud o longitud del i-ésimo subintervalo. Si ties cualquier punto del i-ésimo subintervalo la suma [pic 32], xi-1 £ ti £ xi se llama suma de Riemann de f asociada a la partición .

Si bien la integral definida había sido definida y usada con mucha anterioridad a la época de Riemann él generalizó el concepto para poder incluir una clase de funciones más amplia. En la definición de una suma de Riemann, la única restricción sobre la función f es que esté definida en el intervalo [a, b]. (antes suponíamos que f era no negativa debido a que estábamos tratando con el área bajo una curva).

Una página interesante para ampliar sobre las sumas de Riemann y visualizar animaciones resulta

Ejemplo: Halle [pic 33]

[pic 34]

Como f(x) = x3 es continua en el intervalo [-2, 1] sabemos que es integrable.

Dividimos el intervalo en n subintervalos de igual longitud [pic 35] y para el cálculo de la integral consideramos el extremo derecho de cada subintervalo ti = [pic 36].

[pic 37] = [pic 38][pic 39] = [pic 40][pic 41] = [pic 42][pic 43]

Para el desarrollo de la sumatoria tenemos en cuenta las propiedades siguientes:

[pic 44] [pic 45] [pic 46]

[pic 47]= [pic 48][pic 49]

[pic 50]= [pic 51][pic 52]

[pic 53]= [pic 54][pic 55]= [pic 56] = [pic 57]

[pic 58]= [pic 59]

Observación: Esta integral definida es negativa, no representa el área graficada. Las integrales definidas pueden ser positivas, negativas o nulas.

Surgimiento del símbolo [pic 60]

Leibniz creó el símbolo [pic 61] en la última parte del siglo XVII. La [pic 62]es una S alargada de summa (palabra latina para suma). En sus primeros escritos usó la notación "omn." (abreviatura de la palabra en latín "omnis") para denotar la integración. Después, el 29 de octubre de 1675, escribió, "será conveniente escribir [pic 63]en vez de omn., así como [pic 64] en vez de omn.l ...". Dos o tres semanas después mejoró aún más la notación y escribió [pic 65] en vez de [pic 66] solamente. Esta notación es tan útil y significativa que su desarrollo por Leibniz debe considerarse como una piedra angular en la historia de la matemática y la ciencia.

La notación de la integral definida ayuda a tener en cuenta el significado de la misma. El símbolo [pic 67] hace referencia al hecho de que una integral es un límite de una suma de términos de la forma "f(x) por una pequeña diferencia de x". La expresión dx no se considera por separado sino que forma parte de la notación que significa "la integral de una determinada función con respecto a x". Esto asegura que dx no tiene significado por si mismo sino que forma parte de la expresión completa [pic 68]. De todos modos, desde un punto de vista totalmente informal e intuitivo algunos consideran que la expresión dx indica "una porción infinitesimalmente pequeña de x" que se multiplica por un valor de la función. Muchas veces esta interpretación ayuda a entender el significado de la integral definida. Por ejemplo, si v(t) (positiva) es la velocidad de un objeto en el instante t entonces v(t) dt se podría interpretar, según la consideración hecha, como velocidad . tiempo y esto sabemos que da por resultado la distancia recorrida por el objeto durante un instante, una porción de tiempo muy pequeña dt. La integral [pic 69] se puede considerar como la suma de todas esas distancias pequeñas