Pendiente de una recta..

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Veámoslo ahora en las siguientes figuras:

[pic 19]

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[pic 20]

Si vemos de esta forma que tienes un punto inicial y un punto final de esa sección muy muy pequeña que asemeja a una recta (de prácticamente el tamaño de un punto) entonces el procedimiento que obtenemos de nuevo aplica para una función, sin importar cuál sea esta, siempre y cuando esta esté siendo evaluada en “un punto”.

Si recordamos también que la definición de una pendiente nos dice que esta se calcula como la tangente del ángulo de inclinación, y recordamos también que una tangente es una línea que toca a una curva solamente en un punto entonces:

[pic 21]

De esta forma podemos ver que tanto la definición que nos dice que la tangente es una línea que toca solo en un punto a una curva es la misma definición que la que nos dice que una tangente es la pendiente de una curva.

∆y

m = tan(8) =[pic 22]

∆x

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Diferenciación y derivadas

Ahora regresemos al caso anterior, tenemos una curva de la cual queremos encontrar la pendiente en cualquier punto, por lo que analizaremos dos puntos dados (x1, y1) y (x2, y2). Si acortamos la distancia entre estos dos puntos para obtener una “recta” muy pequeña, prácticamente podemos obtener un punto, por lo tanto estaremos analizando la pendiente de un punto, mientras que al no usar números sino variables, estaremos analizando la pendiente de cualquier o todos los puntos en la función.

Ahora, podemos decir que en el punto P1 el valor x1 es un valor desconocido llamado x, para el cual corresponde un punto y1 el cual es el resultado de evaluar la función f(x) en el punto x. Mientras que a P2 lo conoceremos como el punto dado por el valor x2 el cual es un valor de x+h, donde h es un valor muy pequeño ya que la distancia para que esta función sea válida debe ser muy pequeña. Por lo tanto el punto y2, es el resultado de evaluar la función en el punto x+h, es decir f(x+h).

P1 = (x1, y1) = (x, †(x))

P2 = (x2, y2) = (x + M , †(x + M))

[pic 23][pic 24]

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Ya habiendo analizado el caso, podemos pensar en cuál sería la ecuación para la pendiente bajo estas condiciones.

∆y

m = =[pic 25]

∆x

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†(x + M) − †(x)

(x + M) − (x) =[pic 26][pic 27][pic 28]

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†(x + M) − †(x) M

Ahora, como se comentaba anteriormente, se decía que para que la afirmación anterior tenga validez, la distancia entre un punto y el otro debe ser muy pequeña, es decir, la distancia h debe tender a ser 0. Lo que significa que:[pic 29]

m = lim[pic 30]

M→O

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†(x + M) − †(x) M

Algo importante que debes recordar es que en este caso es que el límite no está evaluando el resultado de la función para un valor de x, sino como cambia la función cuando alteras el valor de h el cual es la distancia entre los puntos.

Si se intentara evaluar el límite de esta función se obtiene una indefinición debida a una división entre 0. Debido a esto hay que analizar las reglas de resolución de límites las cuales nos dicen que para poder evaluarlos, es necesario simplificar las funciones primero. Para poder hacer esto, es necesario primero conocer la función a evaluar.

El caso que observamos se asemeja a una función cuadrática, por lo que intentaremos encontrar la pendiente para una función cuadrática como se define a continuación:

ƒ(x) = x2

Ahora resolvamos el límite:

†(x + M) − †(x)

m = lim[pic 31]

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= lim

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(x + M)2 − (x)2[pic 32]

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= lim[pic 33][pic 34]

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x2 + 2xM + M2 − x2[pic 35]

M→O

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M

2xM + M2

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M→O M

M(2x + M)

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M→O M

m = lim[pic 36]

M→O M

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= lim

M→O M [pic 37]

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