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Principales leyes de distribución de variables aleatorias

Enviado por   •  11 de Diciembre de 2017  •  6.562 Palabras (27 Páginas)  •  68 Visitas

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...

[pic 30]

Por ello la probabilidad de que a cuatro personas le de el resultado del test positivo es:

[pic 31]

Si queremos calcular a cuantas personas les dará el test un resultado positivo aunque en realidad estén sanas, hemos de calcular previamente [pic 32], o sea, el índice predictivo de falsos positivos:

[pic 33]

Es importante observar este resultado. Antes de hacer los cálculos no era previsible que si a una persona el test le da positivo, en realidad tiene una probabilidad aproximadamente del [pic 34]de estar sana. Sea X2 la variable aleatoria que contabiliza al número de personas al que el test le da positivo, pero que están sanas en realidad. Entonces

[pic 35]

y

[pic 36]

Por último vamos a calcular la probabilidad p3 de que el test de un resultado erróneo, que es:

[pic 37]

La variable aleatoria que contabiliza el número de resultados erróneos del test es

[pic 38]

Como la probabilidad de que el test sea correcto para más de siete personas, es la de que sea incorrecto para menos de 3, se tiene

[pic 39]

6.4.6 Distribución geométrica ( o de fracasos)

Consideramos una sucesión de v.a. independientes de Bernouilli,

[pic 40]

Una v.a. X sigue posee una distribución geométrica, [pic 41], si esta es la suma del número de fracasos obtenidos hasta la aparición del primer éxito en la sucesión [pic 42]. Por ejemplo

[pic 43]

De este modo tenemos que la ley de probabilidad de X es

[pic 44]

6.4.6.1 Observación

Es sencillo comprobar que realmente f es una ley de probabilidad, es decir, [pic 45]. Para ello basta observar que la sucesión [pic 46]es una progresión geométrica de razón q, a la que podemos aplicar su fórmula de sumación:

[pic 47]

6.4.6.2 Observación

En la distribución geométrica el conjunto de posibles valores que puede tomar la variable ([pic 48]) es infinito numerable, mientras que en la de Bernouilli y en la binomial, estos eran en número finito.

La función característica se calcula teniendo en cuenta que de nuevo aparece la sumación de los términos de una progresión geométrica, pero esta vez de razón eit q:

[pic 49]

La media y varianza de esta variable aleatoria son:

[pic 50]

[pic 51]

6.4.6.3 Ejemplo

Un matrimonio quiere tener una hija, y por ello deciden tener hijos hasta el nacimiento de una hija. Calcular el número esperado de hijos (entre varones y hembras) que tendrá el matrimonio. Calcular la probabilidad de que la pareja acabe teniendo tres hijos o más.

Solución: Este es un ejemplo de variable geométrica. Vamos a suponer que la probabilidad de tener un hijo varón es la misma que la de tener una hija hembra. Sea X la v.a.

[pic 52]

Es claro que

[pic 53]

Sabemos que el número esperado de hijos varones es [pic 54], por tanto el número esperado en total entre hijos varones y la niña es 2.

La probabilidad de que la pareja acabe teniendo tres o más hijos, es la de que tenga 2 o más hijos varones (la niña está del tercer lugar en adelante), es decir,

[pic 55]

Hemos preferido calcular la probabilidad pedida mediante el suceso complementario, ya que sería más complicado hacerlo mediante la suma infinita

[pic 56]

6.4.6.4 Observación

La distribución exponencial también puede ser definida como el número de pruebas realizadas hasta la obtención del primer éxito (como hubiese sido más adecuado en el ejemplo anterior). En este caso es un ejercicio sencillo comprobar que X sólo puede tomar valores naturales mayores o iguales a 1, y que:

[pic 57]

6.4.8 Distribución binomial negativa

Sobre una sucesión de v.a. de Bernouilli independientes,

[pic 58]

se define la v.a. X como el número de fracasos obtenidos hasta la aparición de r éxitos en la sucesión [pic 59]. En este caso se dice que X sigue una ley de distribución binomial negativa de parámetros r y p y se denota del modo: [pic 60]. Su ley de probabilidad se deduce siguiendo el esquema:

=1mm [pic 61]

Es decir,

[pic 62]

De nuevo, el conjunto de posibles valores de esta v.a. discreta es [pic 63].

Su función característica es

[pic 64]

y sus momentos más importantes los obtenemos derivando esta última:

[pic 65]

6.4.8.1 Ejemplo

Para tratar a un paciente de una afección de pulmón han de ser operados en operaciones independientes sus 5 lóbulos pulmonares. La técnica a utilizar es tal que si todo va bien, lo que ocurre con probabilidad de 7/11, el lóbulo queda definitivamente sano, pero si no es así se deberá esperar el tiempo suficiente para intentarlo posteriormente de nuevo. Se practicará la cirugía hasta que 4 de sus 5lóbulos funcionen correctamente. ¿Cuál es el valor esperado de intervenciones que se espera que deba padecer el paciente? ¿Cuál es la probabilidad de que se

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