SEL y Determinantes.

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Empezamos retomando el SEL inicial y poniéndolo en una forma “más compacta” por llamarlo de alguna forma:[pic 29]

(7)

A la primera expresión: [pic 30], se le llama MATRIZ, en este caso, del sistema de ecuaciones, o simplemente del sistema. A la segunda expresión: [pic 31], se le llama VECTOR COLUMNA, en este caso, de las incógnitas (del sistema). Y por último, a la tercera expresión : [pic 32], también se le llama vector columna, pero en este caso de los términos independientes.

Entonces ya se pasó el mismo sistema de ecuaciones lineales (de 2x2) en una notación “algebraica” al mismo sistema, pero en una nueva notación que se llama: “matricial”.

En la práctica este resultado aparentemente simple tiene muchas implicaciones, que no vamos a tratar. La primera de ellas es la definición de cómo opera esta matriz al multiplicarla por el vector columna, lo que después se lleva a productos de matrices.

Si nos fijamos bien, esta matriz tiene el mismo número de columnas que de filas (2x2) y por tal razón se les llama cuadradas.

Note que cada matriz, en última instancia, es un ARREGLO DE ELEMENTOS que en este caso simple son todos números, pero no siempre será así.

Sin embargo, a pesar de que la matriz NO es un número sino un arreglo, con cada matriz cuadrada se puede siempre asociar un número y a dicho número se le llama DETERMINANTE DE LA MATRIZ (SIEMPRE CUADRADA).

La notación del determinante asociado, es diferente a la de la matriz de origen, para evitar confusiones y suelen representarse así:

[pic 33] (8) MATRIZ

[pic 34] (9) DETERMINANTE ASOCIADO, A LA MATRIZ.

A su vez, se conviene que ESE NÚMERO QUE REPRESENTA EL DETERMINANTE SE CALCULE ASÍ:

[pic 35]

Donde se asocia un signo al producto a cada diagonal:

Uno más para la que sube y otro menos, para la que

Baja.

(10)

Regresando una vez más al SEL original, las soluciones halladas anteriormente pueden replantearse así:

[pic 36] (11) De modo que ya hay un recurso universal, para recordar la regla operatoria involucrada en la solución. A su vez, cuando el SEL aumenta de tamaño, así como las matrices y los determinantes asociados, hay reglas también muy operativas, para el cálculo de determinantes superiores. Una de esa reglas, que se llama desarrollo por cofactores, reduce siempre el orden de un determinante en la unidad hasta llegar al de 2x2 cuya solución es fácil de retener, a partir de las reglas simples que daremos a apartir de expresar también en esta notación la segunda solución, dada por (6).

[pic 37]

Con un comentario semejante al anterior.

(12)

Regla operatoria o nemotécnica.

Si observamos con cuidado las expresiones (11) y (12), vemos que en denominador de ambas se repite. A este determinante, se le suele llamar, determinante del sistema (de ecuaciones) , y consta de los coeficientes del sistema de ecuaciones, o de la matriz del sistema.

Si nos fijamos ahora, también con cuidado, de nuevo en las expresiones (11) y (12)

Resulta que el numerador de (11) es “casi el mismo” que el denominador, pero en él se ha sustituido la columna correspondiente a los coeficientes de la incógnita “ [pic 38]” por la columna de los términos independientes [pic 39]

Análogamente, el numerador de (12), también es “casi el mismo”que el denominador, pero en él se

ha sustituido la columna correspondiente a los coeficientes de la incógnita “ [pic 40]” por la columna de los términos independientes [pic 41].

Y, finalmente, esta última es la regla operatoria o práctica para resolver determinantes sencillos, de 2x2, y con ellos los conocidos y necesarios SEL.