Distribución Binomial, Poisson y Normal

EJERCICIOS – MODULO 09

Tema: Distribución Binomial, Poisson y Normal

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Se usa para variables dicotómicas. (Es aquella que tiene dos posibles respuestas)

Variable aleatoria X: Número de elementos con característica de interés.

Parámetros:         n: tamaño de muestra

                P: Proporción, probabilidad, porcentaje (debe ser expresado en decimales)

Fórmula General:

[pic 1]

CASOS: DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Y POISSON – USO MEGASTAT

CASO 1. P (X ≤ a) = Usar directamente Excel (Leer en columna cumulative probability)

CASO 2. P (X < a) = P(X ≤ a – 1)

CASO 3. P (X > a) = 1 - P (X ≤ a)

CASO 4. P (X ≥ a) = 1 - P (X  ≤ a - 1)

CASO 5. P (a ≤ x ≤ b) = P (X ≤ b) - P (X ≤ a - 1)

CASO 6. P (a < x < b) = P (X ≤ b - 1) - P (X ≤ a)

CASO 7. P (X = a) = Usar fórmula o directamente Excel (Leer  en columna P(x))

NOTA: SIGNOS

A lo mucho, a lo más, como máximo, hasta: ≤

Por lo menos, al menos, como mínimo: ≥

Más que, mayor que, por sobre que: >

Menos que, menor que, por debajo de que: <

Exactamente: =

Entre a y b: a < X < b

Entre a y b inclusive: a ≤ X ≤ b

EJERCICIO 1

En una empresa se ha verificado que el 10% de los empleados tiene problemas laborales. Siete empleados son elegidos al azar. Calcule la probabilidad de que:

Dist. Binomial

X: Número de empleados que tienen problemas laborales.

Parámetros:         n = 7

                P = 0.10

a. El número de empleados con problemas laborales sea a lo más 3.

        P(X ≤ 3) = 0.99727 = 99.73%

        CASO 1. P (X ≤ a) = Usar directamente Excel (Leer en columna cumulative probability)

b. El número de empleados con problemas laborales sea más de  2.

        P(X > 2) = 1 – P(X ≤ 2) = 1 – 0.97431 = 0.02569 = 2.57%

        CASO 3. P (X > a) = 1 - P (X ≤ a)

c. Ninguno de los empleados tenga problemas laborales.

        P(X = 0) = 0.4783 = 47.83%

        CASO 7. P (X = a) = Usar fórmula o directamente Excel (Leer  en columna P(x))

[pic 2]

DISTRIBUCIÓN POISSON

Se usa para variables cuantitativas discretas, expresadas en una unidad de medida. (tiempo, espacio, área, etc.)

Variable aleatoria X: Número de elementos en una unidad de medida

Parámetro:          = media, promedio, razón (puede ser expresado en decimales)[pic 3]

Fórmula General:

[pic 4]

CASOS: DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Y POISSON – USO MEGASTAT

CASO 1. P (X ≤ a) = Usar directamente Excel (Leer en columna cumulative probability)

CASO 2. P (X < a) = P(X ≤ a – 1)

CASO 3. P (X > a) = 1 - P (X ≤ a)

CASO 4. P (X ≥ a) = 1 - P (X  ≤ a - 1)

CASO 5. P (a ≤ x ≤ b) = P (X ≤ b) - P (X ≤ a - 1)

CASO 6. P (a < x < b) = P (X ≤ b - 1) - P (X ≤ a)

CASO 7. P (X = a) = Usar fórmula o directamente Excel (Leer  en columna P(x))

NOTA: SIGNOS

A lo mucho, a lo más, como máximo, hasta: ≤

Por lo menos, al menos, como mínimo: ≥

Más que, mayor que, por sobre que: >

Menos que, menor que, por debajo de que: <

Exactamente: =

Entre a y b: a < X < b

Entre a y b inclusive: a ≤ X ≤ b

EJERCICIO 2

El número promedio de casos atendidos en una entidad bancaria son dos en una hora.

Distribución Poisson

X: Número de casos atendidos en una entidad bancaria en una hora

λ = 2 casos atendidos en una hora

1. Determinar la probabilidad de que más de cuatro casos sean atendidos en una hora

        λ = 2 casos atendidos en una hora

      P(X > 4) = 1 – P(X ≤ 4) = 1 – 0.94735 = 0.05265 = 5.27%

      CASO 3. P (X > a) = 1 - P (X ≤ a)

[pic 5]