Teoría de probabilidades

PARTE A. TEORIA DE PROBABILIDAD

A-I) Respecto a las siguientes proposiciones del cálculo de probabilidades, complete en forma apropiada entre paréntesis con (V) si es VERDADERO y con (F) si es FALSO:

4.1 La probabilidad de un evento imposible siempre es cero……………………………(V)

4.2 Para dos eventos mutuamente excluyentes A y B se cumple:

P(A∪B)=P(A)+P(B)………………………………………………………………..(V)

4.3 Si P(A)=0, no necesariamente se cumple A=∅……………………………………….(F)

4.4 Fenómenos aleatorios o no determinísticos son aquello suyo estado final se puede predecir con exactitud a partir del estado inicial………………………………………..(F)

4.5 Si P(A∩B)=P(A)xP(B), los eventos A y B son mutuamente independientes…...(V)

4.6 Si P(A∩B)=P(A)xP(B/A ), los eventos A y B son independientes………….…..(V)

4.7 Los modelos especiales de probabilidad discretos son: Bernoulli, Binomial, Poisson, Hipergeométrica, Geométrica, Binomial negativa o Pascal……………………………...(V)

4.8 Los modelos especiales de probabilidad continuos son: Disctrib. Uniforme, Disctrib. Exponencial, Distribución normal y Distribución Normal Estándar……………………..(V)

4.9 El teorema de Bayes compara la probabilidad previa (a priori) P(A) con la probabilidad posterior o posteriori P(A/B)…………………………………………………………......(V)

4.10 Probabilidad de que ocurra un evento, sabiendo que otro evento ha ocurrido se llama Probabilidad Condicional o Condicionada……………………………………………….(V)

A-II) DEMUESTRE QUE SE CUMPLEN ESTAS PROPIEDADES EN UN ESPACIO DE PROBABILIDAD

Sí ∅ es un evento vacío, entonces la probabilidad de ocurrencia de ∅ es cero, P(∅)=0

GRÁFICANDO: Espacio Muestral (Ω)

DEMOSTRANDO:

Si usamos un evento A cualquiera, como ∅ y A son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces:

P(A∪∅)=P(A)+P(∅)

P(∅)=P(A∪∅)-P(A)

P(∅)=P(A)-P(A)

P(∅)=0………….L.Q.Q.D

Para 2 eventos mutuamente excluyentes se cumple:

P(A∪B)=P(A)+P(B)

Espacio Muestral (Ω)

A∪B=A∪B

P(A∪B)=P(A∪B)

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

P(A∪B)=P(A)+P(B)-∅

P(A∪B)=P(A)+P(B)……………………L.Q.Q.D

Para tres eventos cualesquiera A, B y C se cumple (de eventos que no son mutuamente excluyentes):

P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)+P(B∩C)+P(A∩B∩C)

GRAFICANDO: Espacio Muestreal (Ω)

DEMOSTRACIÓN:

P(A∪B∪C)=P(A∪(B∪C))=P(A)+P(B∪C)-P(A∩(B∪C))

=P(A)+P(B)+P(C)-P(B∩C)-P((A∩B)∪(A∩C))

=P(A)+P(B)+P(C)-P(B∩C)-P(A∩B)-P(A∩C)+P((A∩B)∩(A∩C))

=P(A)+P(B)+P(C)-P(B∩C)-P(A∩B)-P(A∩C)+P(A∩B∩C)

P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)+P(B∩C)+P(A∩B∩C)

Si A es un evento y A^ces un evento complementario, entonces:

P(A^c )=1-P(A) y P(A)=1-P(A^c ).

GRAFICANDO: Espacio Muestral (Ω)

DEMOSTRACIÓN:

Descomponemos el espacio muestral en 2 eventos mutuamente excluyentes A y A^c entonces: Ω=A∪A^C

Luego aplicamos la función de Probabilidad a ambos miembros de la desigualdad.

P(Ω)=P(A∪A^C )

P(Ω)=P(A)+P(A^C )

P(Ω)-P(A)=P(A^C )

1-P(A)=P(A^C )

De lo cual se desprende:

P(A^C )=1-P(A)

Teorema de la Probabilidad Total:

P(B)=∑▒〖P(A_i )*(B/A_i ) 〗

DEMOSTRACIÓN:

Sabemos que Ω=A_1∪A_2………∪A_k.

Para cualquier evento B en Ω se tiene:

B=B∩Ω

B=B∩(A_1∪A_2………∪A_k )

B=(〖B∩A〗_1 )∪(〖B∩A〗_2 )∪………∪(B∩A_k )

Los eventos, 〖B∩A〗_i y 〖B∩A〗_j, i≠j, son mutuamente excluyentes, pues.

(〖B∩A〗_i )∩(〖B∩A〗_j )=B∩(A_i∩A_j )=∅, i≠j; i,j=1,2,3,…,k

Aplicando la función probabilidad a ambos miembros de la igualdad del paso (2) tenemos:

P(B)=P(〖B∪A〗_1 )+P(〖B∪A〗_2 )+⋯……+P(B∪A_k )

P(B)=P(A_1 )*P(B/A_1 )+P(A_2 )*P(B/A_2 )+⋯……+P(A_k )*P(B/A_k )

P(B)=P(⋃_(i=1)^k▒〖B_i A〗)

P(B)=∑_(i=1)^k▒〖P(A_i )*(B/A_i ) 〗

Teorema de Bayes:

P(A_k/B)=(P(A_k )*P(B/A_k ))/(∑▒〖P(A_i )*(B/A_i ) 〗)

DEMOSTRACIÓN:

Sean sucesos incompatibles dos a dos, tales que siempre ocurre alguno de ellos, y sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/A_k ).

Por definición de probabilidad condicionada:

P(A_k∩B)=P(A_k )*P(B/A_k )=P(B)* P(A_k/B)

Despejando P(A_k/B), se tiene:

P(A_k/B)=(P(A_k )*P(B/A_k ))/P(B)

La