Ecuación diferencial de la curva elástica
Enviado por Mabel Rodriguez Tineo • 10 de Diciembre de 2022 • Resúmenes • 477 Palabras (2 Páginas) • 407 Visitas
Ecuación diferencial de la curva elástica
Cuando una viga con eje longitudinal recto se carga con fuerzas laterales, el eje se deforma y adopta una curva, denominada curva de flexión de la viga. Para expresar la curvatura en un punto específico de una viga en función del momento flexionante que actúa en ese punto y las propiedades de la sección transversal, es necesario considerar las deformaciones por flexión del pequeño segmento de viga de longitud dx, que está sombreado en la figura 9.2a. Las dos líneas verticales que representan las caras del elemento son perpendiculares al eje longitudinal de la viga descargada. Cuando se aplica la carga, se genera el momento y la viga se flexiona (ver figura 9.2b); el elemento es deforma en un trapecio, ya que las caras del segmento (que permanecen rectas) rotan alrededor de un eje horizontal (el eje neutral que pasa por el centroide de la sección). (figura 9.2.c)
En la figura 9.2d podemos observar deformaciones por flexión del segmento DX a) vida sin cargas, b) vega con carga y diagrama de momento; c) sección transversal de la viga; de) deformaciones por flexión de un pequeño segmento de viga; e) deformación unitaria longitudinal; f) esfuerzos por flexión.
[pic 1]
[pic 2][pic 3]
En la figura 9.2 de punto el elemento deformado se superpone al elemento original descargado de longitud DX. Las caras izquierdas se alinean para que las deformaciones se muestren en la derecha. Como podemos ver en esta figura las fibras longitudinales del segmento localizado por encima del eje neutro se acortan debido a que están esforzadas en comprensión. Las fibras longitudinales por debajo del eje neutro, esforzadas en tensión coma se alargan. Ya que el cambio en longitud de las fibras longitudinales abre paréntesis (debido a las deformaciones por flexión) es cero en el eje neutro (EN), las deformaciones y los esfuerzos en ese nivel son igual a cero. La figura 9.2e muestra la variación de la deformación longitudinal en el peral t; la deformación unitaria también varía linealmente con respecto a la distancia al eje neutro, puesto que es igual a la deformación longitudinal dividida entre la longitud inicial dx.
La ecuación diferencial básica de la curva elástica es:
[pic 4]
La ecuación para la longitud de la fibra superior dl se expresa: [pic 5]
La ecuación de la deformación en la superficie superior se expresa: eliminando dl se obtiene: [pic 6][pic 7][pic 8]
Para la curvatura en coordenadas rectangulares la ecuación se escribe como: [pic 9][pic 10]
Si tenemos un comportamiento elástico, el esfuerzo flexionante, se relaciona con la deformación en las fibras superiores por medio de la ley de Hooke se expresa: [pic 11][pic 12][pic 13]
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