Calculo de variaciones

EJERCICIO GRUPAL

Optimizar el funcional:

[pic 1]

Sujeto a:

[pic 2]

[pic 3]

Solución:

Se busca optimizar el valor futuro transformado en valor presente de    a cada instante de tiempo utilizando una tasa de descuento del 50% y además la variable de estado en el año 2 debe ser igual a 5.[pic 4]

En el horizonte temporal  el funcional tiene un conjunto de trayectorias admisibles como observamos en el siguiente gráfico; sin embargo solo hay una trayectoria optima de estado, la cual hallaremos más adelante.[pic 5]

[pic 6]

Sea la función intermedia:

[pic 7]

Paso I: Aplicamos la condición de optimalidad, denominada la ecuación de Euler-Lagrange (condición de primer orden) y resolviendo esta ecuación, obtendremos el conjunto de trayectorias que resuelve el problema.

[pic 8][pic 9]

[pic 10]

En donde:

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

Reemplazando estos datos en la ecuación de Euler- Lagrange tendríamos:[pic 14][pic 15]

[pic 16]

Ordenando la ecuación numero 1:[pic 17][pic 18]

[pic 19]

Dividimos la ecuación número 2 entre 4:[pic 20][pic 21][pic 22]

[pic 23]

La solución a esta ecuación diferencial nos proporcionara un conjunto de trayectorias de estado (espacio admisible); así que procedemos con su solución.

Para ello utilizaremos: [pic 24]

[pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30]

• Hallando la solución complementaria

Ecuación característica:

[pic 31]

[pic 32]

[pic 33]

Dado que las raíces son diferentes la solución complementaria será:

[pic 34]

• Hallando la solución particular:

dado que el coeficiente de y es diferente de cero:

[pic 35]

[pic 36]

Entonces la solución general será:[pic 37]

[pic 38][pic 39][pic 40][pic 41]

Paso II: Aplicamos la condición inicial y terminal para determinar el valor de  para así determinar la trayectoria optima de estado.[pic 42]

• Condición inicial:

[pic 43]

[pic 44]

[pic 45]

• Condición terminal:

[pic 46]

[pic 47]

[pic 48]

Mediante el método de sustitución resolvemos el sistema de ecuaciones:

Teniendo que:

[pic 49]

Despejamos :[pic 52][pic 53][pic 50][pic 51]

[pic 54]

Reemplazando:

[pic 55]

[pic 56]

[pic 57]

[pic 58]

Reemplazamos este valor en la ecuación numero 3:

[pic 59]

[pic 60]

Entonces la trayectoria optima de estado es:

[pic 61]

Gráficamente: