Identifica cuales de las matrices dadas son iguales.

...

- [pic 79]

- [pic 80]

Ejemplo 9. Multiplique las matrices dadas

[pic 81]

[pic 82]

Para la multiplicación de repetida de matrices cuadradas:

- [pic 83]

- [pic 84]

- [pic 85]

- [pic 86]

- Esta propiedades nos permiten establecer las propiedades

- [pic 87]

- .[pic 88]

Ejemplo 10. Multiplicación repetida de una matriz cuadrada.

Encuentre para la matriz [pic 89][pic 90]

Transpuesta de una matriz. La transpuesta de una matriz se forma al escribir sus columnas como renglones. Por ejemplo, si es la matriz de [pic 91][pic 92][pic 93]

entonces la transpuesta, denotada por , es la [pic 94][pic 95]

matriz de siguiente [pic 96][pic 97]

Ejemplo 11. Transpuesta de una matriz. Encuentre la transpuesta de cada matriz

[pic 98]

Propiedades de la transpuesta. Si son matrices (de tamaño tal que las operaciones con matrices dadas están definidas) y c es un escalar, entonces las siguientes propiedades son verdaderas.[pic 99]

- Transpuesta de la transpuesta[pic 100]

- Transpuesta de una suma[pic 101]

- Transpuesta de la multiplicación por un escalar[pic 102]

- Transpuesta de un producto[pic 103]

Ejemplo 12. Producto de una matriz y su transpuesta.

Para la matriz encuentre el producto y demuestre que es simétrica.[pic 104][pic 105]

- Inversa de una matriz

Definición de inversa. Una matriz de es invertible (o no singular) si existe de tal que donde es la matriz identidad de orden . La matriz se denomina inversa (multiplicativa) de . La matriz que no tiene una inversa se denomina no invertible (o singular).[pic 106][pic 107][pic 108][pic 109][pic 110][pic 111][pic 112][pic 113][pic 114][pic 115]

Teorema de la unicidad de la inversa de matriz. Si es una matriz invertible, entonces su inversa es única. La inversa de se denota por [pic 116][pic 117][pic 118]

Ejemplo 12. Inversa de una matriz. Demuestre que es la inversa de , donde[pic 119][pic 120]

[pic 121]

Determinación de la inversa de una matriz por la eliminación de Gauss-Jordan. Sea una matriz cuadrada de orden .[pic 122][pic 123]

- Escriba la matriz de que consta de la matriz dada a la izquierda y la matriz identidad de por a la derecha para obtener Observe que las matrices están separadas por una línea punteada. Este proceso se denomina adjuntar la matriz ala matriz [pic 124][pic 125][pic 126][pic 127][pic 128][pic 129][pic 130][pic 131]

- Si es posible, reduzca por renglones a utilizando operaciones elementales con renglones en toda la matriz . El resultado puede ser la matriz Si esto no es posible, entonces es no invertible (singular).[pic 132][pic 133][pic 134][pic 135][pic 136]

- Verifique su trabajo multiplicando por para que verifique que [pic 137]

[pic 138]

Ejemplo 13. Encontrar la inversa de la matriz. Determine la inversa de la matriz si es posible

[pic 139]

Determinación de la inversa de una matriz por otro método. [pic 140]

Si es una matriz de representa por entonces es invertible si y sólo si Además, si entonces la inversa es representada por[pic 141][pic 142][pic 143][pic 144][pic 145][pic 146]

Verifique esta inversa hallando el producto .[pic 147][pic 148]

Ejemplo 14. Encontrar la inversa de la matriz por el método anterior. Determine la inversa de la matriz del ejemplo 13 si es posible. [pic 149][pic 150]

Propiedades de las matrices inversas. Si es una matriz invertible, es un entero positivo y es un escalar diferente de cero, entonces son invertibles y se cumple lo siguiente.[pic 151][pic 152][pic 153][pic 154]

- [pic 155]

- [pic 156]

- [pic 157]

- [pic 158]

La inversa de un producto. Si son dos matrices invertibles de tamaño n, entonces es invertible y [pic 159][pic 160][pic 161]

Propiedades de cancelación. Si es una matriz invertible las siguientes propiedades son válidas.[pic 162]

- Si entonces Propiedad de cancelación por la derecha [pic 163][pic 164]

- Si entonces . Propiedad de cancelación por la izquierda[pic 165][pic 166]

Sistema de ecuaciones con una única solución. Si es una matriz invertible, entonces el sistema de ecuaciones lineales tiene una solución única dad por [pic 167][pic 168][pic 169]

Ejemplo 15. Solución de un sistema de ecuaciones utilizando una matriz inversa. Utilice una matriz inversa para resolver cada sistema

[pic 170]

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

- Introducción a los sistemas de ecuaciones

Definición de una ecuación lineal en variables. Una ecuación lineal en variables es lineal si tiene la forma canónica o normal[pic 171][pic 172][pic 173]

[pic 174]

Los coeficientes son números reales y el término constante es un número real. El número es el coeficiente principal y es la variable principal. También si ordenamos las variables, la primera variable cuyo coeficiente es distinto de cero se llama variable delantera. Las demás son variables libres.