“Más incógnitas que ecuaciones, hay infinitas soluciones”

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- ¿Cuántos métodos conoces para resolver un sistema de ecuaciones?

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- Resuelve el sistema de ecuaciones que has obtenido por el método de tu preferencia.

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Aprendemos:

Al presentar la situación planteada “Más incógnitas que ecuaciones, hay infinitas soluciones”, pretendemos que el estudiante se familiarice con la modelación de situaciones cotidianas, mediante las cuales se obtienen ecuaciones lineales identificando su parámetro, Asimismo, pretendemos que el estudiante conozca sus diferentes representaciones.

También es necesario conocer:

Sistema de ecuaciones lineales

Una ecuación lineal con dos incógnitas es una expresión de la forma ax + by = c, donde a, b y c son los coeficientes y “x” e “y” son las incógnitas. Gráficamente una ecuación lineal representa una recta en el plano. Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas será de la forma:[pic 4]

ax + by = c

a’x + b’y = c’

Resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es encontrar los valores de las incógnitas “x” e “y” que verifican las dos ecuaciones a la vez. Puede suceder que haya una única solución (las rectas se cortan en un punto), que haya infinitas soluciones (las rectas coinciden) o que no haya solución (las rectas son paralelas).

[pic 5][pic 6][pic 7]

[pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]

[pic 13]

[pic 14][pic 15][pic 16]

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas existen varios métodos, de los cuales consideraremos los siguientes: método de sustitución, método de reducción y método de igualación.

Método de Sustitución.

Para aplicar este método se sigue los siguientes pasos:

- Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones (la que sea más fácil).

- Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo una ecuación de primer grado con una sola incógnita.

- Se resuelve la ecuación y se obtiene el valor de una de las incógnitas. Este valor se sustituye en la ecuación despejada al principio para obtener el valor de la otra incógnita.

- Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

- Comprobamos los resultados sustituyendo los valores de x e y en las dos ecuaciones para ver si se cumplen.

Ejemplo:

El Sr. Lopez, llenó el tanque de su automovil de GNV con 21 soles pagándole al grifero con un billete de 50 soles, quien solo tenía para dar vuelto monedas de 2 y 5 soles. ¿Cuántas monedas de cada denominación recibió el Sr, Lopez de vuelto, si en total fueron 10 monedas?

Sea “x” las monedas de S/. 2, “y” las monedas de S/.5 y su vuelto 29 soles.

Planteando las ecuaciones, tenemos:

[pic 17]

- Se despeja “x” de la segunda ecuación: y = 10 – x

- Se sustituye en la primera ecuación el valor de “x”

2x + 5(10 – x) = 29

- Se resuelve la ecuación obtenida, obteniendo el valor de “x”.

x = 7

- Se sustituye x = 7 en : y = 10 – x , obteniendo y = 3

- Se comprueba en las dos ecuaciones y si se verifica que cumple para las dos ecuaciones.

- Luego el conjunto solución es: c.s = {(7;3)}

Respuesta del problema: recibe 7 monedas de S/ 2 y 3 monedas de S/. 5.

Método de Reducción

Para aplicar este método hay que recordar que si multiplicamos todos los términos de una ecuación lineal con dos incógnitas por un mismo número distinto de cero, se obtiene otra ecuación lineal equivalente a la dada que tiene las mismas soluciones, siguiendo las siguientes recomendaciones:

- Se elige la incógnita más apropiada para eliminarla.

- Se multiplica una o las dos ecuaciones por un número o números tales que la incógnita que queremos eliminar aparezca en las dos ecuaciones con el mismo coeficiente.

- Se suman o se restan los términos semejantes en las dos ecuaciones con lo que desaparecerá una de las incógnitas.

- Se resuelve la ecuación resultante y se obtiene el valor de la incógnita.

- Se sustituye este valor en una de las ecuaciones iníciales y se calcula la otra incógnita.

- Se comprueba el resultado sustituyendo los valores de “x” e “y” en las dos ecuaciones para ver si se cumplen.

Ejemplo:

Se considera el mismo ejemplo anterior, pero la resolución será ahora por el Método de Reducción.

[pic 18]

Si queremos eliminar la “x” tenemos que multiplicar por 2 la segunda ecuación, para que al restarle con la primera se anule. Si queremos eliminar “y” entonces tenemos que multiplicar la segunda ecuación por 5 para que al restarla con la primera se anule. Escogemos eliminar la “x” en esta oportunidad.

[pic 19]

Restando la primera ecuación con la segunda, obtenemos: 3y = 9, donde y = 3

Se sustituye el valor de “y” en la segunda ecuación, por ser la más sencilla y obtenemos: x=7

Se comprueba en las dos ecuaciones y si se verifica que cumple para las dos ecuaciones.