Sistema de ecuaciones. Criterios para determinar la existencia de solución

...

Ejemplo:

[pic 14]

Observamos que el sistema es homogéneo, pues[pic 15], y además que [pic 16]en consecuencia el sistema tiene solución trivial, x = 0, y = 0.

- SISTEMAS NO HOMOGÉNEOS

Son aquellos en los que por lo menos uno de los términos independientes es distinto de cero (0).

Ejemplo:

[pic 17]

El sistema es no homogéneo, ya que[pic 18], por otro lado observa que:

[pic 19], entonces [pic 20]

por lo tanto, La solución es X = - 2, y = 1

- SISTEMAS DE ECUACIONES COMPATIBLES

Son aquellos que tienen solución y pueden categorizarse como: compatibles determinados e indeterminados.

- Compatible Determinado

Cuando tiene un número finito de soluciones. Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un conjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en un único punto. Desde un punto de vista algebraico los sistemas compatibles determinados se caracterizan porque el determinante de la matriz es diferente de cero.

Ejemplo:

[pic 21] x = 2, y = 3

Gráficamente la solución es el punto de corte de las dos rectas:

[pic 22]

- Compatible Indeterminado

Cuando tiene un número infinito de soluciones. Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se cortan a lo largo de una recta (o más generalmente un hiperplano de dimensión menor).

Ejemplo:

[pic 23]

Gráficamente obtenemos dos rectas coincidentes. Cualquier punto de la recta es solución al sistema.

[pic 24]

SISTEMAS INCOMPATIBLES

Es aquel que no tiene solución. Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (hiper)planos o rectas que se cruzan sin cortarse.

Ejemplo:

[pic 25]

- Gráficamente obtenemos dos rectas paralelas.

[pic 26]

- CRITERIOS PARA DETERMINAR LA EXISTENCIA DE SOLUCIONES DE SISTEMAS DE ECUACIONES:

Antes de intentar resolver un sistema de ecuaciones, es conveniente determinar si el sistema tiene solución y conocer la naturaleza de ésta. En este punto indicamos algunos criterios que nos pueden orientar en la búsqueda de la solución.

Para el siguiente el sistema 2 x 2:

[pic 27]

Se presentan dos (2) casos:

Caso 1:

Si el sistema de ecuaciones es homogéneo, es decir, [pic 28], tendremos dos opciones:

i) [pic 29] el sistema tiene solución trivial, x= 0, y = 0

ii) [pic 30]el sistema tiene infinitas soluciones.

Caso 2:

Si el sistema de ecuaciones es no homogéneo y suponiendo [pic 31], tendremos tres opciones:

- [pic 32]el sistema tiene sólo una solución no trivial y es la siguiente:

[pic 33]

ii) [pic 34]el sistema tiene infinitas soluciones

iii) [pic 35]el sistema no tiene solución.

CONCLUSIONES

Finalizado el trabajo teórico-práctico se han obtenido a las siguientes conclusiones:

- Un Sistema de ecuaciones es grupo de dos o más ecuaciones que comprenden dos o más variables (incógnitas).

- Los resultados al resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables pueden ser: existencia de una solución, existencia de una cantidad infinita de soluciones, o puede no existir solución.

- Hay que considerar algunos términos al resolver sistemas de ecuaciones tales como: Las dimensiones del sistema, la solución del sistema¸ sistemas homogéneos o no homogéneos, compatibles determinados e indeterminados, sistema de ecuación lineal en una variable, de ecuación lineal en dos variables y ecuación lineal en “n” variables.

- Las dimensiones de un sistema de ecuación dependen del número de ecuaciones y del número de incógnitas. Y la solucion van a ser los valores de las incógnitas que hacen que las igualdades se verifiquen.

- Los sistemas de ecuaciones pueden considerarse homogéneos si tienen todos los términos independientes iguales a cero y no homogéneos donde al menos uno de los términos independientes es distinto de cero (0).

- No todos los sistemas homogéneos tienen una única solución.

- La solución general del sistema no homogéneo es la suma de la solución general del sistema homogéneo y una solución particular del sistema no homogéneo.

- Los Sistemas compatibles son aquellos que tiene solución, y puede distinguirse entre: Sistema compatible determinado cuando tiene una única solución. Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones. Los Sistemas incompatibles no tienen solución.

- Existen ciertos criterios para saber si el sistema tiene solución y para conocer la naturaleza de ésta, si es homogéneo el sistema puede tener solución trivial o infinitas soluciones y si es no homogéneo el sistema puede tener una solución no trivial, puede tener infinitas soluciones o puede no tener solución.

REFERENCIAS ELECTRÓNICAS

-

Mendoza Palacios, Rudy 2006. monografias.com. Investigación cualitativa y cuantitativa - Diferencias