Toma de decisiones y Metodos Cuantitativos

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● A la hora de determinar un modelo siempre hay que especificar si hay que maximizarla (buscar el máximo de f) o minimizarla (el mínimo de f).

En general, resolver un problema de programación matemática significa buscar unos valores para las variables principales que cumplan las restricciones y donde la función objetivo alcance su valor óptimo. El planteamiento general es:

(se asume ≤ por simplicidad, pero puede ser también ≥ ó =)

Opt. f(X)

s.a. g(X) ≤ b

B Clases de problemas

En principio, se distinguen tres tipos de problemas:

● Programación no lineal. Todos los problemas de optimización pueden englobarse en esta clase.

● Programación lineal. Un problema pertenece a esta clase si tanto su función objetivo como sus restricciones son lineales.

● Una función lineal es una función que se puede escribir de la forma c1x1 + … + cnxn (numéro*variable + número* variable)

● A diferencia de los polinomios, sólo permiten la suma o la resta

● Programación clásica. Son aquellos problemas sin restricciones o cuya única restricción es la de igualdad.

El ejemplo de las diapositivas anteriores:

● Es de programación no lineal

● Es de programación lineal (función obj. y restricciones son lineales)

● No es de programación clásica (tiene restricciones de desigualdad)

Por su parte, el problema

Max. Z = x + y

s.a. x2 + y2 = 9

● Es de programación no lineal

● No es de programación lineal (su restricción no lo es [x2 = x*x])

● Es de programación clásica (su restricción es una igualdad)

Si x e y no estuviesen elevados al cuadrado, también sería un problema de programación lineal.

C Clases de variables

● Variables no negativas. Variables sometidas a condiciones de no negatividad, e.g. la restricción x ≥ 0

● Variables no positivas. Variables sometidas a la restricción x ≤ 0

● Variables libres. Variables no sometidas a ninguna de las restricciones anteriores (denominadas condiciones de signo)

Diremos igualmente que una variable puede estar acotada superiormente (x ≤ c) o inferiormente (x ≥ c), donde c es un número real cualquiera.

D Transformaciones de problemas

● Cambio de objetivo. Cada problema de maximización es equivalente a uno de minimización, y viceversa, si se cambia el signo de la función objetivo, esto es, de f(X) a -f(X) Por ejemplo,

Max. Z = x + y

s.a. x2 + y2 ≤ 9

Se puede convertir en

Min. - Z = - x - y

s.a. x2 + y2 ≤ 9

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● Eliminación de constantes en la función objetivo. Un problema con función objetivo de la forma f(X) + k, donde k es un valor constante que nunca cambia, tiene los mismos valores óptimos que un problema con función objetivo f(X)

● Cambio de una desigualdad. Una restricción de ≤ se puede convertir en una de ≥ si se multiplican sus miembros por -1, y viceversa.

● Por ejemplo, la restricción x2 + y2 ≤ 9 puede transformarse en - x2 - y2 ≥ 9

● Igualdad por desigualdades. Una restricción de igualdad (=) puede convertirse en dos igualdades de restricciones ≥ y ≤

● Por ejemplo x2 + y2 = 9

Puede transformarse en: x2 + y2 ≤ 9 x2 + y2 ≥ 9 (x2=cuadrado)

● Desigualdades por igualdades. También se puede hacer el camino inverso: transformar las restricciones de ≤ ó ≥ en restricciones de =.

● Se hace mediante el uso de variables de holgura. Es habitual que estas variables sean no negativas.

● A una restricción ≤ se le suma una variable de holgura y a una restricción de ≥ se le resta una variable de holgura.

x2 + y2 ≤ 9 → x2 + y2 + S1 = 9

x2 + y2 ≥ 9 → x2 + y2 - S2 = 9

● Condiciones de signo. Una variable sometida a una condición de signo x ≤ 0 puede convertirse en una variable no negativa mediante el cambio x’ = -x, de modo que la restricción pasa a ser x’ ≥ 0.

● A su vez, podemos sustituir una variable libre x por variables no negativas, cumpliendo que x = x1 – x2, dado x1 ≥ 0 y x2 ≥ 0

3 Optimización en Investigación Operativa

● Dos aspectos fundamentales en Investigación Operativa: optimización e incertidumbre.

● La optimización consiste en la determinación de una alternativa de decisión, siendo esta mejor que cualquier otra en algún sentido (maximización de beneficios, minimización de costes, etc.)

● La incertidumbre se asocia con la variación descrita por las funciones de probabilidad, que permite conocer y predecir la alternativa de decisión con una cierta probabilidad.

● Así, se distinguen dos categorías de modelos matemáticos en Investigación Operativa:

● Optimización, que comprende la programación matemática lineal, entera, no lineal, dinámica y el análisis determinista de decisiones.

● Teoría de la Probabilidad, que abarca el