QUE ES LA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

...

= [pic 46]

Entonces, [pic 47] = [pic 48]

- V(k)=0

- V(kX)=k2V(X)

- V(X±Y)=V(X)+V(Y) si X y Y son independientes

- V(aX+bY)= a2V(X)+b2V(Y)+2abCov(XY)

donde Cov(XY) = E((X-μX)(Y-μY)) = E(XY)-μXμY

La desviación estándar de la variable aleatoria X es la raíz cuadrada positiva de la varianza, es decir, σ = [pic 49].

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Un ensayo Bernoulli es un experimento aleatorio que sólo admite dos posibles resultados, denotados éxito y fracaso. La probabilidad de éxito se denota p.

Por lo tanto si denotamos el éxito por 1 y el fracaso por 0 se tiene:

P(1)= p P(0)=1-p=q

Además se cumple: E(X)= p V(X)=pq

Un proceso Bernoulli es un proceso en el cual se verifican las siguientes condiciones:

El experimento aleatorio se repite n veces en idénticas condiciones

Hay sólo dos posibles resultados en cada repetición del experimento, llamados arbitrariamente éxito y fracaso

La probabilidad de éxito, denotada p, es la misma para cada repetición (permanece constante entre repeticiones)

las n repeticiones del experimento aleatorio son independientes entre sí

Consideremos ahora la variable aleatoria X: # éxitos observados en n repeticiones. Suponga que se quiere determinar la probabilidad de observar x éxitos en n repeticiones; esto es, se desea determinar P(X = x). Como lo importante es observar x éxitos en n repeticiones, el orden de ocurrencia de los mismos es irrelevante; así, para contar de cuántas formas pueden observarse x éxitos en n repeticiones empleamos las combinaciones [pic 50]. Por otro lado, como las n repeticiones del experimento son independientes entre sí y calcular P(X = x) equivale a calcular la probabilidad de una intersección de eventos (en las que cada evento corresponde a un éxito o a un fracaso), tenemos que la probabilidad de un punto muestral cualquiera asociado al experimento es [pic 51]; en definitiva:

P(X = x) = [pic 52]

Dado que [pic 53] y [pic 54], resulta que P(X = x) = [pic 55] determina una distribución de probabilidades denominada distribución binomial.

En resumen, se dice que la variable aleatoria X tiene distribución binomial si su función distribución de probabilidad está dada por

[pic 56] = [pic 57]

Se puede demostrar que para una variable aleatoria con distribución binomial

[pic 58] = n.p

[pic 59] = n.p.q

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMETRICA:

Una variable aleatoria X tiene una distribución hipergeométrica si se toma una muestra sin reemplazo de un conjunto de N elementos, de los cuales k son considerados de una categoría en especial (aciertos) y los otros N-k son considerados de otra categoría (fallas) y se desea obtener x aciertos de una muestra de n elementos ó ensayos. Se expresa de la siguiente formula:

[pic 60]

[pic 61]

Esto también se puede extender para más de dos grupos.

Ejemplo:

Si existe tres grupos el primero con k1 elementos, el segundo grupo k2 y el tercero con k3 Si queremos hallar la probabilidad de escoger x elementos del primer grupo, y elementos del segundo grupo y z elementos del tercer grupo sin reemplazo; la probabilidad es la siguiente:

[pic 62]

DISTRIBUCIÓN POISSON

Los experimentos que dan valores numéricos de una variable aleatoria X que ocurre durante un intervalo de tiempo dado o en una región específica se denominan experimentos Poisson. El intervalo puede ser de cualquier longitud: un minuto, un día, una semana, un mes o incluso un año; y la región específica podría ser: un segmento de línea, un área o quizás una pieza de material. Un experimento Poisson se deriva de un proceso Binomial, el cual verifica las siguientes propiedades:

El número de resultados que ocurren en un intervalo o región es independiente del número de resultados que ocurren en otro intervalo o región. (Esto determina una característica que se conoce como falta de memoria)

La probabilidad de que ocurra un solo resultado durante un intervalo muy corto o una región pequeña es proporcional a la longitud del intervalo o al tamaño de la región y no depende del número de resultados que ocurren fuera de este intervalo o región.

la probabilidad de que ocurra más de un resultado en tal intervalo corto o que caiga en tal región pequeña es insignificante.

La variable aleatoria X: # de resultados que ocurren durante un experimento Poisson se denomina variable aleatoria Poisson y su distribución de probabilidades, dada por [pic 63] se denomina distribución Poisson; donde λ es el número promedio de resultados por unidad de tiempo o región. Para una variable aleatoria con distribución Poisson se tiene [pic 64] = [pic 65] = λ.

DISTRIBUCIONES CONTINUAS

Las distribuciones de probabilidad son idealizaciones de los polígonos de frecuencias. En el caso de una variable estadística continua consideramos el histograma de frecuencias relativas, y se comprueba que al aumentar el número de datos y el número de clases el histograma tiende a estabilizarse llegando a convertirse su perfil en la gráfica de una función.

Distribución uniforme

En estadística la distribución uniforme es una distribución de probabilidad cuyos valores tienen la misma probabilidad.

Se dice que una variable aleatoria X continua tiene una distribución uniforme en el intervalo [a,b] si la función de densidad de probabilidad (FDP) es

[pic