Lección 6: Ecuaciones con variables separables

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Al trabajar con las constantes en el método de separación de variables dicha constante aparece cuando integramos el lado derecho o sea dx por tanto utilizamos una sola constante C.

Lección 8: Ecuaciones exactas

Lección 8: Ecuaciones exactas

Si en la ecuación diferencial de la forma M(x, y) dx + N (x, y) dy = 0

El lado izquierdo corresponde a la derivada total de alguna función f (x,y) la ecuación diferencial es exacta.

Criterio de exactitud

Si M y N tienen derivas parciales continuas, entonces la ecuación diferencial de la forma M(x, y) dx + N (x, y) dy = 0 es exacta si y solamente si:

dM/dy = dN/dx

Ejemplos de comprobación para exactitud.

a) La ecuación diferencial: (xy2 + x)dx + yx2 = 0

Es exacta porque:

dM/dy = dN/dx = 2xy

b) la ecuación (y2 +1) dx + xy dy = 0 no es exacta.

c) la ecuación cos y dx + (y2 + x sen y) dy = 0 no es exacta, a pesar de que difiere de la primera ecuación solamente en un signo.

En algunos casos se ve que una ecuación es exacta después de una agrupación adecuada de sus términos. La ecuación así ordenada se puede integrar término a término.

Ejemplo:

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Solución de una ecuación diferencial exacta

El método de solución de la ecuación diferencial exacta es el siguiente:

1. Verificamos que la ecuación diferencial sea exacta si dM/dy = dN/dy

2. Suponemos que existe una función f tal que df/dx = M(x,y)

3. Encontramos f integrando ambos lados de la ecuación con respecto a x y mantenemos constante y:

[pic 14], donde g (y) es la constante de integración.

4. Ahora derivamos f(x, y) con respecto a y por tanto se debe obtener N(x, y)

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5. Ahora integrando esta última ecuación obtenemos respecto a y obtenemos g(y)

6. Reemplazamos lo encontrado y tenemos en su totalidad la función a encontrar f(x,y).

Ejemplo: Hallar la solución de la siguiente ecuación diferencial

(2xy - 3x2) dx +(x2 -2y) dy = 0

Solución: La ecuación diferencial dada es exacta, ya que:

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Podemos obtener la solución general f(x,y) como sigue:

Determinamos g(y) integrando N( x,y) con respecto a "y" e igualando las dos expresiones de f(x,y)

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Ejemplo: Resolver la ecuación [pic 18]

Verificando las derivadas [pic 19]

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Lección 9: El factor integrante

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Lección 10: Ejercicios Propuestos

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